Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линейные отображения (операторы)





1. Основные понятия и определения.

Линейное пространство L (X, Y).

 

В геометрии исключительно важную роль играют преобразования: сдвиг, поворот, растяжение и другие (на плоскости или в трехмерном пространстве), обладающие тем свойством, что сумму векторов они переводят в сумму их образов, а произведение вектора на число a - в произведение образа вектора на a. Обычно их называют линейными отображениями, они играют ведущую роль среди всех отображений.

Определение. Пусть Х и Y – векторные пространства над числовым полем R. Поставим в соответствие каждому вектору Î Х некоторый вектор у из пространства Y, который обозначим через А , говорят, что задано отображение (оператор) , отображающее Х в Y (обозначают: : ХY или = ). Если для любых , из Х и " a Î R выполняются равенства

(a ) = a ( ), (свойство однородности)

( + )= + , (свойство аддитивности)

то отображение называют линейным отображением (линейным оператором).

Можно объединить оба равенства в эквивалентное им одно:

(a + β ) = a + β , a, β Î R.

 

Линейные отображения : ХY, В: ХY мы назовем равными, если для любого Î Х А = Вх.

Элементы вида образуют подпространство пространства Y, называемое пространством образов при отображении : ХY, и обозначают символом (Х) = { : Î Х }, (Х) Ì Y.

Если (Х) = Y, то называется отображением Х на Y.

При линейном отображении нуль–элемент пространства Х обязательно переходит в – нуль–элемент пространства Y: = () = = , но возможно, и другие элементы отображаются в нуль–элемент .

Поэтому, определим множество прообразов элемента , которое назовем ядром линейного отображения : ХY и обозначим:

Н () = { Î Х: = Î Y }, Н Ì Х.

Ядро Н также является (линейным) подпространством пространства Х (докажите самостоятельно).

Если линейное отображение не взаимно однозначно (Н ≠ { }), то при = всякий вектор , для которого = , имеет вид = + , где – некоторый вектор ядра Н. Множество векторов ={ = + : Î H } называется многообразием (гиперплоскостью) параллельным подпространству Н (по-другому, сдвигом подпространства Н на вектор ); при = , = Н. При , не есть подпространство.

Размерность ядра Н называют дефектом отображения А и обозначают d () или : d () = dimH, (d (A) ≤ dimX).

Если ядро Н = { } (d (A)=0) состоит только из нуль-элемента , то отображение : Х (Х) – взаимно однозначное отображение Х на пространство образов (Х). Существует обратное (тоже линейное) отображение : (Х) → Х или = , = ( = , " Î Х).

Если дополнительно предположим, что (Х) = Y, то имеем линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство Y, то есть изоморфизм, который устанавливает изоморфное соответствие между пространствами Х и Y (: ХY) (см. п. 6). Естественно, в этом случае = , " Î X, обратно, = , " Î Y и справедливы равенства: ( ) = , ( ) = или = , = , где , -тождественные (единичные) операторы: = , " ÎX, = , " ÎY.

Проиллюстрируем сказанное на рисунке:

 
 

 


а) Линейное отображение А из Х в Y.

 
 

 


б) Изоморфизм Х и Y.

Рисунок 2.

Образы n линейно независимых элементов пространства Х при линейном отображении в пространство Y в общем случае не будут линейно независимыми; но справедлива следующая

Теорема 1. Если в пространстве Y образы (), (), …, () линейно независимы, то соответствующие r элементов , , …, пространства Х линейно независимы в Х.

Естественно, справедлива эквивалентная ей (обратная противоположной)

Теорема 2. Если , , …, линейно зависимы в Х, то их образы , , …, при отображении также линейно зависимы.

Действительно, пусть, например, вектор есть линейная комбинация остальных векторов: = a 2 , …, a 3 + … + a r , a iÎ R, тогда в силу линейности отображения , имеем: = a 2 + a 3 +…+ a r , что означает линейную зависимость векторов–образов.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если линейное отображение : Х nY, то подпространство (Х n) пространства Y имеет размерность, не большую n:

dim A (X n)≤ n.

В случае : ХY m подпространство (ХY имеет размерность не большую m: dim (X) ≤ m; в частности, при (Х) = Y m размерность dim (X)= m.

Определение. Рангом отображения : ХY называют размерность пространства образов (Х) и обозначают r (): r ()= dim (X).

Очевидно, если линейное отображение : X nY m, то справедливо неравенство: r () = dim (X n) ≤ min { m; n }, то есть ранг отображения А меньше или равен наименьшему из чисел m, n; отображает Х n на некоторое r - мерное подпространство (Х n) пространства Y m (rmin { m, n }).

Без доказательства сформулируем следующую теорему.

Теорема 4. Если линейное отображение : ХY, то справедлива формула: r ()+ d () = dimX (ранг + дефект = размерность Х).

В частности, при : Х nY имеем r ()+ d () = n.

Над линейными отображениями можно производить некоторые операции: их можно умножать на число l, можно складывать, в определенных случаях перемножать.

Сформулируем определения этих операций.

Если : ХY и l Î R, то l обозначает линейное отображение, при котором для любого Î Х (l × ) = l .

Так как Î Y, то l × = (l × ) Î Y, значит, l : ХY. Покажем, что отображение l – линейное. Имеем для " , Î Х, a, β Î R: l (a + β ) = ( (a + β )) = l (a + β ) = la + =

= a (l ) + β (l ) , что доказывает сказанное.

Если : ХY, ХZ, то + обозначает линейное отображение, при котором для " Î Х

( + ) = + .

Аналогично предыдущему легко убедиться, что + является линейным отображением и + : ХY.

Если : ХY, : YZ, то (произведение отображений, операторов или композиция) обозначает линейное отображение, при котором для " Î Х ( ) = ( ).

Покажем, что : ХY. Действительно, если Î Х, то Î Y и, так как : YZ, то ( )=( ) Î Z. Нетрудно показать, что является линейным отображением.

Очевидно, что умножение линейных отображений не коммутативно.

Можно показать, достаточно лишь проверить выполнение аксиом, что совокупность линейных отображений (операторов) : XY относительно определенных выше операций сложения и умножения на число сами образуют векторное (линейное) пространство, которое мы обозначим (X, Y) ≡ L(X, Y).

Нуль–элементом этого пространства является нулевой оператор θ, переводящий элементы пространства Х в нуль–элемент пространства Y.

Отметим, что если существуют произведения и , то существуют и произведения ( ) и ( ) , причем ( ) = ( ) (ассоциативность произведения).

 

Date: 2015-12-10; view: 421; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию