Изоморфизм векторных пространств

Определение 8. Под изоморфизмом или изоморфным соответствием между двумя векторными пространствами Х и Y понимается взаимно однозначное соответствие Û между множествами всех элементов (векторов) одного и другого пространства, сохраняющее линейные операции, а именно: если Û , Û , то + Û + , l Û l при " l Î R.

Рисунок 1.

В частности, при l =0 будем иметь 0× Û0× или Û , что при изоморфизме пространств их нулевые вектора соответствуют друг другу.

Также распространяя изоморфное соответствие на n - слагаемых при " l₁, l₂, … l_n Î R, имеем: l₁ + l₂ + … + l_n Û l₁ + l₂ + … + l_n .

Это означает, что при изоморфизме пространств линейно независимые (зависимые) системы векторов одного пространства соответствуют линейно независимым (зависимым) системам другого. Отсюда следует, что любые два изоморфных между собой пространства имеют одинаковое количество базисных векторов, то есть одну и ту же размерность.

Обратно тоже верно: любые два пространства Xⁿ и Yⁿ одинаковой размерности изоморфны.

Достаточно для каждого из них, например, Хⁿ установить изоморфизм с n –мерным арифметическим пространством Aⁿ. Пусть , , … – произвольный базис пространства Xⁿ. Тогда каждый вектор Î Xⁿ однозначно записывается в виде (см. (7)) = х₁ + х₂ + … + х_n . Ставя ему в соответствие вектор Î Aⁿ, =(х₁, х₂, …, х_n), Û , мы и получаем искомое изоморфное соответствие между пространствами Xⁿ и Aⁿ с учетом того, что линейные операции при этом сохраняются. Это действительно так. Пусть дан еще вектор = x¢₁ + x¢₂ + … + x¢_n Î Xⁿ. Так как при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: + =(х₁ + х¢₂) +(х₂ + х¢₂) + … +(х_n + x¢_n) , а при умножении на число l все координаты вектора умножаются на это число: l = lx¢₁ + lx¢₂ + … + lx¢_n , то очевидно: + Û + , l Û l , что и требовалось установить для окончания доказательства.

Нами доказана теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности.

Теорема 1. Для того чтобы два конечномерных векторных пространства были изоморфны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же размерность.

Приведем примеры изоморфных пространств: Р₁ «П₂ «А²; Р_n «Аⁿ⁺¹ (см. примеры 2, 3, 4 п. 5).

В заключение подчеркнем, что хотя с точностью до изоморфизма существует только одно n -мерное векторное пространство, например Aⁿ, рассмотрение абстрактного пространства Xⁿ оправдано тем, что аксиоматическое определение векторного пространства непосредственно выделяет свойства векторов (элементов), не зависящие от выбора базиса. Например, равенство нулю всех координат вектора, есть свойство самого вектора, оно не зависит от выбора базиса. А положительность всех координат вектора не есть свойство самого вектора, так как при изменении базиса оно исчезает (см. пример 6 п. 5).