Прямая сумма линейных операторов

Пусть Lⁿ=L₁ Å … Å L_k и "i=1,…,k определен ли­нейный оператор j _i: L_i® L_i c матрицей [ ] в базисе е ⁱ={е₁ ⁱ,…, } подпространства L_i.

Теорема. $! линейный оператор j: Lⁿ ® Lⁿ такой, что = j _i.

Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомый л.о. j существует. Тогда "хÎ Lⁿ, х = х₁+…+ х_k, где все х_iÎ L_i, и j х = j х₁+…+j х_k = = j₁ х₁+…+ j_k х_k – отсюда следует единственность л.о. j.

2. Существование. Определим линейный оператор j: Lⁿ® Lⁿ так: пусть "хÎ Lⁿ, х = х₁+…+ х_k ( где все х_iÎ L_i),

j х j₁ х₁+…+ j_k х_k (из пункта 1 видно, что никак иначе определить л.о. j мы и не можем). Тогда

j х_i=j(0+…+ х_i+…+0)=j₁0+…+j_iх_i+…+j_k0= j_i х_i, то есть "i имеем j|_Li=j _i. Из линейности операторов j _i легко следует линейность оператора j.

Упражнение. Доказать линейность оператора j.

ÿ

Определение. Построенный линейный оператор j называется прямой суммой линейных операторов j₁,…,j_k и обозначается j₁ ∔ … ∔ j_k или j₁ Å … Å j_k.

В базисе е пространства Lⁿ, полученном объединением базисов е ¹,…, е ^k, матрица [ ] = [ ]∔ … ∔[ ]. Кроме того, можно увидеть, что все F(L_i) (см. п. 13.5) естественным образом инъективно вкладываются в F(Lⁿ), сумма их в F(Lⁿ) является прямой:

F(Lⁿ)É F(L₁) Å … Å F(L_k), и j₁ ∔ … ∔ j_k ÎF(L₁) Å … Å F(L_k).

В случае прямой суммы двух j- инвариантных подпространств Lⁿ=L₁ Å L₂ получаем j = j|_L1 ∔ j|_L2.