Следствия. 2. Если л.о. j Î Ф(Ln) такой, что yÎФ(Ln) имеем

1. dim Ф(Lⁿ) = dim М_n(Р) = n².

2. Если л.о. j Î Ф(Lⁿ) такой, что "yÎФ(Lⁿ) имеем

y j = j y, то $ сÎ Р такой, что j = с - это следует из соответствующего свойства алгебры матриц.

Упражнение. Проверить, что

B = {j_ijÎ Ф(Lⁿ), i,j =1,…,n ½ j_ij e_j = e_i, j_ije_k= 0_L при k ¹ j} - базис линейного пространства Ф(Lⁿ).

Очевидно, j_ije_k=d_kje_i, и [ j_ij ] = E_ij – базисные матрицы в пространстве М_n(Р).

Лекция 26.

14. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К

ДРУГОМУ

14.1. Изменение координат вектора при изменении

базиса.

Пусть e ={e₁, …,e_n} и e¢ = {e¢₁, …,e¢_n} - некоторые базисы в

пространстве L = Lⁿ. Для произвольного вектора x Î Lⁿ рас­смотрим разложения x= = и найдем зависи­мость

между координатами х_i и х ¢ _i вектора x в этих базисах.

Пусть [ ]=[ x ], [ ]=[ x ]¢ и e¢_j = , j = 1,…,n, t_ij Î P - разложение векторов базиса e¢ по базису e. Определим мат­рицу = T=(t_ij)_i,j=1,…,n, столбцами которой являются столцы Т ^j = [ ]. Эта матрица Т называется матрицей перехода от базиса e к базису e ¢. Очевидно, x = = = = е_i Þ х_i = - это произведение i- ой строки матрицы T= (t_ij) на столбец [ x ] ¢, и [ ] = [ ] или в сокращенном виде [ x ] = Т× [ x ] ¢.

Следуя (13.1), в матричном виде всё это можно записать так: е¢ = е ×Т, х = е × [ x ] = е ¢ × [ x ] ¢ = е ×Т× [ x ] ¢ Þ [ x ] = Т× [ x ] ¢.