Линейных операторов

Мы установили, что упростить вид матрицы л.о. j: L® L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два j- инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в L имеется j- инвариантных подпространств, сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л.о. j. Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме п одномерных j- инвариантных подпространств.

Рассмотрим вопрос, как находить одномерные j- инвари-

антные подпространства. Пусть V – одномерное подпро­стра-

нство, V = <s >, s ¹ 0 Þ V= {a s | a Î P }. Очевидно, V –

j- инвариантное подпространство Û j VÌ V Û j sÎ VÛ

$lÎ P такой, что j s =l s.

Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р, j: L® L – линейный оператор. Вектор sÎ L называется собственным вектором л.о. j, если s ¹ 0 и $lÎ Р такое, что j s = ls. l называется собственным значением (собственным числом) оператора j.

По определению 0_L не является собственным вектором, хотя j 0_L = 0_L = l0_L " lÎ Р.

Пример. Для L = С^∞(-¥, +¥) - линейного пространства беско­нечно дифференцируемых функций на числовой прямой, и л.о. j = d/dx: С^∞(-¥, +¥) → С^∞(-¥, +¥) вектор е^kx является собственным вектором с собственным значением k.

Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахо­ждение одномерных j- инвариантных подпространств – эк­вивалентные задачи.

Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

j: Lⁿ ® Lⁿ - линейный оператор, е = {е₁,…, е_n } - базис в Lⁿ.

Тогда х – собственный вектор для j Û $l Î Р такое, что j х=l х, и х¹ 0 Û (l×id - j)х= 0, и х¹ 0 Û хÎ Ker(l×id - j), и х ¹ 0. Таким образом, все ненулевые векторы из

Ker(l×id - j) явля­ются собственными векторами оператора j, соответствую­щими собственному значению l. Но в силу теоремы 6 из п.15 Ker(l×id - j) ¹ {0} Û det(l×id - j) = 0 Û

det [ l×id - j ] = det(lE - [ ] ) = 0.

Рассмотрим c_j(t)= det [ t×id -j ] = det(tE - [ ] ) - многочлен от t степени n c коэффициентами в Р. Очевидно,

(l×id - j)х = 0Û (lE – [ j ] )× [ x ] = [ 0 ], причем ненулевые реше­ния этой однородной системы линейных уравнений сущест­вуют Û l - корень многочлена c_j(t).

Заметим, что в силу леммы из п. 14.2. det(t×id - j) не зависит от базиса e.

Определение. Многочлен c (t)= c_j(t) называется харак­теристическим многочленом оператора j или матрицы [ j ], а уравнение c(t) = 0 называется характеристическим уравнением.

Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора j надо:

1. Найти корни l₁,…, l_k характеристического многочлена c (t) линейного оператора j, лежащие в Р.

2. Для каждого l_i , i = 1,…,k, решить однородную систему линейных уравнений (l_iE - [ j ] )× [ x ] = [ 0 ]. Её фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением l_i .

Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень l в Р, и, следовательно, для l существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора j. И значит, "j $ собственный вектор.

Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то c (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора j.

Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть А~В Þ $ Т: А = Т ^-1ВТ Þ

c_A(t)= |tE – A| = |tE - Т^-1ВТ|=|Т^-1(tE – В)Т|=|Т^-1|×|(tE – В)|×|Т|= = |(tE – В)|= c_B(t).

ÿ

Легко видеть, что

c_A(t)= |tE – A| = =

= (t – a₁₁)×(t – a₂₂)×… × (t – a_nn)+ слагаемые степени £ (n-2) =

= tⁿ - (a₁₁+ a₂₂+…+ a_nn) t^n-1 + …+ (-1)ⁿdetA.

Определение. Для квадратной матрицы А =(а_ij) порядка n следом матрицы называется tr A = а₁₁+а₂₂+…+ а_nn.

По теореме, если А~ В, то trA=trВ, так как c_A(t)= c_В(t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA ¹ trВ, то А и В не эквивалентны.

Лекция 28.

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: c_A(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(b_ij) – присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда b_ij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1) -го порядка матрицы tE– A. Значит, b_ij – многочлены от t степени

£ п-1. Поэтому b_ij имеют вид b_ij = b⁽⁰⁾_ij+ b⁽¹⁾_ijt + …+ b^(п-1)_ijt^п-1, где все b^(k)_ij Î Р. Определим матрицы В^(k) с элементами из Р: В^(k) = (b^(k)_ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В⁽⁰⁾+ tВ⁽¹⁾⁾+…+ t^п-1В^(п-1). По свойству присоединенной матрицы

В×(tE – A) = |tE – A|×Е. (16.3)

Пусть c_A(t)= |tE – A|= с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п. Из формулы

(16.3) получаем:

(В⁽⁰⁾+ tВ⁽¹⁾ +…+ t^п-1В^(п-1))(tE– A) = (с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п)×Е. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с₀Е+ с₁А+…+ с_п-1 А^п-1+ А^п =c_A(А)×

ÿ

Следствие. [ c_j(j) ] = c _{[ j ]} ( [ j ] )= 0 Þ c_j(j)= 0.

Date: 2015-09-25; view: 356; Нарушение авторских прав