Определения, примеры. Определение. Линейное пространство Е над полем R называется евклидовым пространством, если на Е фиксирована функция двух векторных аргументов х

Определение. Линейное пространство Е над полем R называется евклидовым пространством, если на Е фиксирована функция двух векторных аргументов х, у Î Е со значениями в R, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1. (х + у, z) = (х, z) + (у, z) " х, у, z Î Е,

2. (ax, y) = a (x, y) " х, у Î Е, " a Î R,

3. (x, y) = (y, x) " х, у Î Е,

4. (x, x) > 0 " х Î Е, x ¹ 0.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется симметричностью скалярного произведения, свойство 4 называется положительной определённостью.

Следствия из определения.

1. (х, у+ z) = (у+ z, х)= (у, х)+ (z, х)= (х, у)+ (х, z) " х, у, zÎ Е.

2. (y, ax) = (ax, y) = a (x, y)= a (y, x) " х, у Î Е, " a Î R.

Следовательно, скалярное произведение – это билинейная симметричная положительно определенная функция.

3. (0_Е, х) = (0 _R × 0_Е ,x) = 0 _R ×(0_Е ,x) = 0 _R Þ (0_Е , 0_Е) = 0.

4. Пусть е = {е₁,…, е_n } – базис в Е, .

Тогда (x,y)= ()= = , где g_i,j = (e_i,е_j), а матрица Г = = (g_i,j) называется матрицей Грама. Очевидно, (x, y) = = = [ ] ^t Г [ ], и Г ^t = Г.

5. Легко видеть, что подпространство евклидова пространст-

ва является евклидовым пространством.