Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Эквивалентные матрицы





Введем на множестве Мп(Р) квадратных матриц бинар­ноеотношение ~ : будем считать, что для матриц А,ВÎ Мп(Р)

выполняется А~В Û $ матрица ТÎ Мп(Р) такая, что |T| ¹ 0 и А = Т-1ВТ.

Утверждение. Отношение ~ на множестве Мп(Р) явля­ется отношением эквивалентности.

Доказательство.

а) " АÎ Мп(Р) А~А, так как при Т= Е имеем А = Е –1АЕ, то есть отношение ~ рефлексивно.

в) Пусть А~В Þ $ ТÎ Мп(Р) такая, что А =Т-1ВТ Þ В=ТА Т-1= = (Т-1)-1А Т-11-1 А Т1, где Т1 = Т-1, поэтому В ~ А, то есть от­ношение ~ симметрично.

с) Пусть А~В и В~С Þ $ Т12Î Мп(Р) такие, что А =Т1-1ВТ1 и В =Т2-1СТ2 Þ А= Т1-1Т2-1СТ2Т1= (Т2Т1 )-1С(Т2Т1) =Т3-1СТ3, где Т3 = Т2Т1, то есть отношение ~ транзитивно.

Таким образом, отношение ~ является отношением экви­валентности.

ÿ

Далее мы будем использовать следующее

Определение. Матрицы А, ВÎ Мп(Р) называются эквивалентными Û $ матрица ТÎ Мп(Р) такая, что |T| ¹ 0 и

А = Т-1ВТ.

Очевидно, множество матриц Мп(Р) разбивается на не­-

пересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество Мп(Р)¤~. Каждый класс эквива­лентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора j : Ln ® Lп, записанных во всевозможных базисах пространства Ln. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения ~ и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что А~В Û А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения ~ следует из того, что если А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого опера­тора. Ещё более очевидна рефлексивность и симметричность отношения ~.

Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества Мп(Р)¤~, то есть задача выбора в каждом классе единствен­ного наиболее простого представителя, или же выбора наи­более простого вида матрицы линейного оператора в некото­ром «хорошем» базисе - это задача классификации всех матриц (соответственно, всех операторов) с точностью до от­ношения эквивалентности ~ . Решение этой задачи будет оз­начать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует раз­личных матриц с точностью до эквивалентности. Для опера­торов это будет означать, что для любого оператора мы смо­жем узнать, к какому наиболее простому виду можно при­вести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.



Упражнение. Доказать, что если А~В, то detA = detB и rgA = rgB.






Date: 2015-09-25; view: 195; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию