Эквивалентные матрицы

Утверждение. Отношение ~ на множестве М_п(Р) явля­ется отношением эквивалентности.

Доказательство.

а) " АÎ М_п(Р) А~А, так как при Т= Е имеем А = Е ^–1АЕ, то есть отношение ~ рефлексивно.

в) Пусть А~В Þ $ ТÎ М_п(Р) такая, что А =Т^-1ВТ Þ В=ТА Т^-1= = (Т^-1)^-1А Т^-1=Т₁^-1 А Т₁, где Т₁ = Т^-1, поэтому В ~ А, то есть от­ношение ~ симметрично.

с) Пусть А~В и В~С Þ $ Т₁,Т₂Î М_п(Р) такие, что А =Т₁^-1ВТ₁ и В =Т₂^-1СТ₂ Þ А= Т₁^-1Т₂^-1СТ₂Т₁= (Т₂Т₁ )^-1С(Т₂Т₁) =Т₃^-1СТ₃, где Т₃ = Т₂Т₁, то есть отношение ~ транзитивно.

Таким образом, отношение ~ является отношением экви­валентности.

ÿ

Далее мы будем использовать следующее

Определение. Матрицы А, ВÎ М_п(Р) называются эквивалентными Û $ матрица ТÎ М_п(Р) такая, что | T | ¹ 0 и

А = Т^-1ВТ.

Очевидно, множество матриц М_п(Р) разбивается на не­-

пересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество М_п(Р)¤~. Каждый класс эквива­лентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора j: Lⁿ ® L^п, записанных во всевозможных базисах пространства Lⁿ. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения ~ и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что А~В Û А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения ~ следует из того, что если А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого опера­тора. Ещё более очевидна рефлексивность и симметричность отношения ~.

Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества М_п(Р)¤~, то есть задача выбора в каждом классе единствен­ного наиболее простого представителя, или же выбора наи­более простого вида матрицы линейного оператора в некото­ром «хорошем» базисе - это задача классификации всех матриц (соответственно, всех операторов) с точностью до от­ношения эквивалентности ~. Решение этой задачи будет оз­начать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует раз­личных матриц с точностью до эквивалентности. Для опера­торов это будет означать, что для любого оператора мы смо­жем узнать, к какому наиболее простому виду можно при­вести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.

Упражнение. Доказать, что если А~В, то detA = detB и rgA = rgB.