Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы

Пусть L – линейное пространство над полем Р, j: L® L – линейный оператор.

Определения.

1. Будем говорить, что многочлен f Î P [t] аннулирует оператор j, если f(j) = 0.

2. Будем говорить, что многочлен f Î P [t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.

3. Аннулятором л.о. j называется множество многочленов Ann j = {f Î P [t] | f(j) = 0 }. Аналогично, аннулятором квадратной матрицы А называется множество многочленов Ann А = {f Î P [t] | f(А) = 0 }.

Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann j ¹ 0, Ann А ¹ 0.

Так как [ f(j) ] = f( [ j ] ), то Ann j = Ann [ j ].

Определение. Минимальным многочленом линейного оператора j называется ненулевой многочлен f_j наименьшей степени из Ann j со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен

f_A матрицы A.

Утверждение. Для л.о. j (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

Доказательство. Пусть f_1j, f_2j - два минимальных многочлена для j. Тогда ст.f_1j = ст. f_2j Þ ст.(f_1j - f_2j)< ст.f_1j, и f_1j - f_2j Î Ann j Þ f_1j - f_2j = 0 Þ f_1j = f_2j.

ÿ

Утверждение. Если f Î Ann j, то f_j | f.

Доказательство. Разделим f на f_j с остатком:

f = q f_j +r, ст. r < ст. f_j Þ r(j) = f(j) - q(j) f_j(j)= 0 Þ r= 0.

ÿ

16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над R и над С.

Теорема. Пусть Lⁿ – линейное пространство над полем С, п >1, j: Lⁿ ® Lⁿ - линейный оператор. Тогда в Lⁿ существует одномерное j- инвариантное подпространство.

Доказательство следует из замечания в п. 16.4 и из того, что поле С алгебраически замкнуто.

Теорема. Пусть Lⁿ – линейное пространство над полем R, п >1, j: Lⁿ ® Lⁿ - линейный оператор. Тогда в Lⁿ существует j- инвариантное подпространство размерности £ 2.

Доказательство. Пусть c_j(t)=р₁(t)×р₂(t)×…×р_m(t) - разложение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители р_i(t) имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли c_j(j)=0 Þ р₁(j)×р₂(j)×…×р_m(j) = 0 Þ det(р₁(j)×р₂(j)×…×р_m(j)) = 0 Þ

det р₁(j)×det р₂(j)×…×det р_m(j)= 0 Þ $ i: det р_i(j)= 0.

а) Пусть ст. р_i(t) = 1. Можно считать, что р_i(t) = t - l₀ Þ

р_i(j)= j - l₀ id, det (j - l₀ id) = 0 Þ Ker (j - l₀ id) ¹ 0 Þ

Ker (j - l₀ id)' s ¹ 0, s – собственный вектор, <s > - одномерное j- инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. р_i(t) = 2. Можно считать, что р_i(t) = t ² + аt + b,

р_i(j)=j ² +аj + b× id. Так как det р_i(j)= 0, то Ker р_i(j) ¹ 0

Þ Ker р_i(j) ' и ¹ 0 Þ (j ² + аj + b× id)и = 0 Þ

j ²и = - аj и - bu. Пусть v = j и, V = < и, v >. Тогда V - j- инвариантное подпространство, так как j и = v Î V,

j v = j ²и = - аj и – bu = - аv - bu Î V (см. также вывод 2 из п. 16.1), и dimV £ 2.

ÿ

Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.