Поля часток

ТЕОРЕМА 14. Довільну область цілісності R можна вкласти в поле.

(Під словом «вкласти» розуміється, що всі елементи області цілісності є елементами поля і операції, визначені в полі і в кільці R, співпадають на ).

4Розглянемо множину формальних часток , (тобто множину пар ). Будемо казати, що знаходиться у відношенні з , якщо , (нагадаємо, що в області цілісності операція множення комутативна). Доведемо, що відношення є відношенням еквівалентності:

1. Рефлексивність очевидна: , так як .

2. Симетричність: також очевидна.

3. Транзитивність:

Таким чином, вся множина формальних дробів розбивається на класи еквівалентності (якщо як приклад розглянути числові дроби виду , Z то в один клас еквівалентності об'єднуються всі дроби, що скорочуються до одного й того ж).

Тепер на множині класів еквівалентності введемо операції ():

1) Додавання: .

2) Множення: .

Нулем є клас дробів виду , , а одиницею – клас дробів виду , . Зворотним до буде клас . Елемент визначається як . Нескладно перевірити, що введені операції комутативні, асоціативні і пов'язані законом дистрибутивності. Отже, побудована структура є полем, що і треба було довести.3

u Поле, побудоване в доведенні теор. 14, називається полем часток.