Приклади

1) Поліном незвідний над полем раціональних чисел Q, але розкладається над полем дійсних чисел R:

.

2) Поліном незвідний над , але розкладається над :

.

ТЕОРЕМА 9 (про канонічний розклад). Будь-який поліном представляється у вигляді

,

де , , – нормовані незвідні поліноми, - натуральні числа.

3.3. Фактор-кільце F [ x ]/(f)

Кільця поліномів над полями мають багато cпільних рис з кільцем цілих чисел. Наприклад, і – комутативні кільця з одиницею без дільників нуля, тобто області цілісності. Більше того, і , і – евклідові кільця. Незвідні поліноми у відіграють ту саму роль, що і прості числа у . Зокрема, має місце аналог наслідку з теор. 2:

ТЕОРЕМА 10. Фактор-кільце є полем тоді і тільки тоді, коли – незвідний поліном над .

По аналогії з кільцями лишків , фактор-кільце складається з класів лишків за . Представниками цих класів є всі поліноми з степеня меншого за , де . Якщо , то їх кількість дорівнює . Операції додавання і множення у фактор-кільці зручно задавати за допомогою таблиць, які називаються таблицями Келі.