Приклад. Розглянемо приклад ділення з лишком поліномів з

Розглянемо приклад ділення з лишком поліномів з .

Тобто . Тут , (Нагадаємо, що операції над коефіцієнтами виконуються за mod 5).

u Поліном називається нормованим (зведеним, унітарним), якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці.

u Нормований поліном називається найбільшим спільним дільником поліномів і , якщо , і .

ТЕОРЕМА 7. Нехай . Тоді існує єдиний нормований поліном, що є найбільшим спільним дільником поліномів , причому він може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації:

, .

u Нормований поліном називається найменшим спільним кратним поліномів і , якщо , і .

ТЕОРЕМА 8. Кільце поліномів є кільцем головних ідеалів, причому кожен ідеал цього кільця породжується нормованим поліномом.

4 – область цілісності (за теор. 5). Розглянемо довільний ненульовий ідеал . Він містить деякий поліном мінімального степеня. Нехай – коефіцієнт при старшому степені , тоді покладемо . Покажемо, що , тобто, , .

Оскільки – евклідове кільце, то , , . Якщо , то і оскільки і - підкільце. З причини , де – ненульовий поліном мінімального степеня, що належить , маємо , тобто, , , отже, .3

Якщо в ідеалі є ненульові константи, то, очевидно, рівний одиниці і .

u Поліном називається незвідним, якщо Þ або , .

Незвідний поліном не розкладається в добуток двох поліномів додатних степенів. Інакше: незвідний поліном ділиться тільки на себе і на константи (елементи поля ).

Звідність або незвідність полінома залежить від того, над яким полем він розглядається.