Приклад

[C: R ]=2, оскільки будь-яке комплексне число а + ib можна зобразити як двовимірний вектор(а,b), R. Базисом Cнад R є система елементів {1, i }.

Будь-яке скінченне поле F є скінченним розширенням свого простого підполя Z_p. Його елементи можна представити як вектори деякої розмірності n з компонентами з Z_p. Таким чином, справедливе наступне твердження.

ТЕОРЕМА 19. Будь-яке скінченне поле містить рⁿ елементів, де р – деяке просте, а n – натуральне числа. р є характеристикою, а n – степенем розширення поля F над простим підполем Z_p.

u Скінченні поля називають полями Галуа (Galois Fields) і позначають або , де рⁿ – кількість елементів поля.

u Кількість елементів поля називається його порядком.

Так, порядок дорівнює рⁿ.

› Тепер замість Z _p будемо використовувати позначення .

ТЕОРЕМА 20 (про “башту” розширень). Нехай – скінченне розширення поля а в свою чергу, – скінченне розширення поля ( – так звана «башта» розширень). Тоді

.

4Нехай , . У як лінійному векторному просторі над F існує базис , а в L над – базис . Одержуємо: , де . Доведемо, що – базис в L над F, що містить mn елементів, тобто :

.

Отже, – базис L як лінійного векторного простору над F. Таким чином, .3