Корені поліномів та їх властивості

Нехай – поле, – деякий поліном. Якщо , то елемент є значенням полінома в .

u Елемент такий, що , називається коренем полінома .

ТЕОРЕМА 11 (Безу). Елемент є коренем деякого полінома тоді і тільки тоді, коли .

4 Необхідність. Нехай . Тоді .

Достатність. Нехай – корінь . Внаслідок того, що – евклідове кільце, маємо: , причому . Але , тобто . Якщо , то . Але оскільки – корінь, то і .3

u називається коренем полінома f(x) кратності , якщо ділиться на , але не ділиться на .

u Якщо кратність кореня дорівнює 1, то він називається простим.

ТЕОРЕМА 12. Поліном f(x) степеня n над полем F має не більше за n різних коренів у полі .

4Нехай – корені полінома f(x) з кратностями відповідно. Тоді поліном f(x) можна представити у вигляді . Прирівняємо степені лівої і правої частин цієї рівності: , оскільки степені щонайменше дорівнюють 1. Таким чином, .3

u Поліном називається похідною полінома .

ТЕОРЕМА 13. а є кратним коренем полінома f(x) тоді і тільки тоді, коли а є коренем f(x) і одночасно.

4Доведення: якщо , то

.

У зворотньому напрямку теорему пропонується довести самостійно. 3

Контрольні питання до §4

1. Дати визначення простого та кратного кореня поліному.

2. Сформулювати теорему Безу.

3. Сформулювати теорему про кількість коренів поліному у полі.

4. Довести теорему 13 у зворотньому напрямку.