Характеристики полів

u Говорять, що поле F є підполем поля і позначають цей факт , якщо носій поля F є підмножиною носія поля або співпадає з ним, і носій F замкнений відносно операцій, визначених у полі .

u Якщо , то підполе F називається власним.

u Поле називається простим, якщо воно не містить власних підполів.

ТЕОРЕМА 15. Будь-яке поле містить одне і тільки одне просте підполе.

4Існування: розглянемо перетин всіх підполів даного поля. Воно непорожнє, оскільки кожне поле містить 0 і 1. Цей перетин – поле (суми, різниці, обернені елементи в ньому містяться, оскільки містяться у всіх підполях одночасно). Це підполе – просте, інакше у нього існувало б власне підполе і воно не було б перетином всіх підполів. Єдиність (від супротивного): нехай дане поле містить два прості підполя. Тоді їх перетин повинен включати як мінімум одиницю і нуль, тобто їх перетин містить поле, породжене цими елементами. Отже, вони не можуть бути простими. Таким чином, будь-яке поле може містити лише одне просте підполе.3

ТЕОРЕМА 16. Будь-яке просте поле ізоморфне або полю лишків за простим модулем Z _р, або полю раціональних чисел Q.

4Нехай – просте поле. Введемо відображення Z таке, що , ( N): , . Доведемо, що j – гомоморфізм ( N):

;

.

Якщо j – мономорфізм, то . В теорії кілець доводилось, що – ідеал кільця Z і фактор-кільце Z /Ker = Z /{0} за означенням складається з класів лишків, кожний з яких містить один елемент (бо якщо належать одному классу, то ), тобто Z / Z. За теоремою про гомоморфізм кілець j( Z ) Z. Кільце j( Z ) вкладається в поле , але оскільки в для будь-якого елемента існує обернений, то воно повинне містити підполе, ізоморфне полю часток. Внаслідок того, що – просте, воно ізоморфне полю часток кільця Z, а саме, полю раціональних чисел.

Якщо j – не мономорфізм, то . Оскільки Z – кільце головних ідеалів, а Ker φ – ідеал, то , отже j(Z) @ Z / = Z _n. Так як Z – область цілісності, то Z _n =Z _р для деякого простого р (при складеному n Z _n містить дільники нуля), тобто @ Z _р. 3

u Поле F має характеристику, що дорівнює p (), якщо F містить просте підполе, ізоморфне Z _р (, просте число) і характеристику, що дорівнює нулю (, якщо F містить просте підполе, ізоморфне Q.

З означення видно, що всі скінченні поля мають ненульову характеристику.

Можна дати інше, еквівалентне, визначення характеристики поля.

u Характеристикою поля F називається найменше натуральне число n таке, що : na = =0. Якщо ж таке не існує, то характеристика поля вважається рівною 0.

Таким чином, характеристика – це порядок одиниці в адитивній групі поля.

Доведемо одну важливу для теорії скінченних полів тотожність.

ТЕОРЕМА 17. У полі характеристики

.

4У будь-якому полі має місце формула бінома Ньютона:

(1)

де . Оскільки – просте число, а < p, то ділиться на при всіх . Але в полі характеристики p для будь-якого елемента Отже, в правій частині (1) ненульовими можуть бути тільки крайні доданки.

Покладаючи в (1) одержуємо твердження для різниці елементів і . 3

Наслідок теор.17. У полі характеристики

: для будь-якого натурального n.

4Доведення за індукцією.3

Контрольні питання до §5,6

1. Дати визначення підполя, власного підполя, характеристики поля.

2. Сформулювати теореми про просте поле.

3. Сформулювати теорему Безу.

5. Сформулювати теорему про кількість коренів поліному у полі.