Поліноми над кільцями

Нехай – кільце, – деякий символ, змінна.

u Поліномом над кільцем називається вираз виду

,

де елементи , називаються коефіцієнтами полінома,
a₀ називається вільним членом полінома.

u Якщо замість символа у вираз для підставити елемент , то в можна обчислити елемент , який називається значенням полінома в точці .

u Якщо , то поліном називається нульовим.

Якщо поліном ненульовий, то існує таке, що

Число , що задовольняє цій умові, називається степенем полінома і позначається , називається старшим коефіцієнтом полінома . Степінь нульового полінома за означенням дорівнює .

u Говорять, що поліном рівний поліному і позначають цей факт як тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти рівні.

Введемо операції додавання і множення на множині поліномів над кільцем . Нехай

, , і нехай для визначеності

Тоді вважаємо

(вважається, що при ), (2)

, де . (3)

ТЕОРЕМА 3. Множина поліномів над кільцем з введеними операціями додавання і множення утворює кільце з нульовим поліномом як нейтральним елементом за додаванням (нулем).

Це кільце позначають .

4 Справедливість теор.3 випливає з того, що коефіцієнти поліномів належать кільцю. 3

ТЕОРЕМА 4. (Про степені поліномів). Нехай . Тоді:

,

.

Якщо – область цілісності, то .

Якщо , то, очевидно, . Таким чином, є підкільцем .

Кільце успадковує багато властивостей кільця .

ТЕОРЕМА 5.

1) Якщо – кільце з одиницею, то – кільце з одиницею.

2) Якщо – комутативне кільце, то – теж комутативне.

3) Якщо – область цілісності, то – теж цілісне.