Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Числовой ряд называется знакоположительным, если u_n >0 при всех n =1,2,3….

Для таких рядов частичные суммы S₁, S₂, …, S_n,… образуют возрастающую числовую последовательность S₁ < S₂ <…< S_n <….

Признак сравнения числовых рядов

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

причём 0<a _n≤b_n при любых n =1,2,….

Тогда:

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд ; из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд . Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами

В качестве эталонного числ ряда использ ряд вида

Предельный признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда , причём 0<a _n<b_n Если существует конечный предел ≠0, то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве этал – ряд Дирихле.

35. Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , a_n>0,

и пусть существует предел . При l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится. Если l =1, то признак не дает ответ

Признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , a_n>0, и пусть существует предел

При l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится. При l =1 критерий Коши не позволяет определить сходимость/расходимость

Интегральный признак (признак Маклорена-Коши)

Пусть задан ряд, a_n>0, , для к-го существует монотонно убывающая

непрер ф-я y=f(x) на [1;∞) такая что f(n)=a_n.

Тогда сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный

интеграл