Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Возрастание и убывание функции в окрестности





точки. Локальный экстремум

 

Будем изучать поведение функции y=f (x) вблизи некоторой точки х. Конечно, мы считаем, что f (x) определена в некоторой окрестности этой точки. Тогда возможны следующие случаи.

 
 


 

 

 

 
 

 

 


В случаях (3) и (4) говорят, что функция имеет локальный максимум (минимум). Локальные максимум и минимум называют локальным экстремумом.

Предположим, что функция f в точке х имеет производную , так что величина стремится к положительному числу, если . Но тогда в некоторой окрестности точки х , т.е. функция возрастает.

 

Таким образом, справедлива теорема:

I. Если функция f в точке х имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) в этой точке.

Из этих рассуждений следует и другая теорема.

 

Теорема Ферма.

Если функция f достигает в точке х локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная , то последняя равна нулю.

 

Доказательство:

Если бы , то в силу предыдущей теоремы функция либо возрастает, либо убывает и экстремума нет.

Теорему можно сформулировать и так:

Для того, чтобы функция f, имеющая в точке х производную, достигла в ней локального экстремума, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна нулю.

Отметим, что условия недостаточно, чтобы функция имела локальный экстремум.

 

Пример:

при , но функция возрастает в окрестности точки т.к. как при , так и при .

Аналогично, функция убывает в окрестности точки .

 

Date: 2015-09-02; view: 546; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию