Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Возрастание и убывание функции в окрестноститочки. Локальный экстремум
Будем изучать поведение функции y=f (x) вблизи некоторой точки х. Конечно, мы считаем, что f (x) определена в некоторой окрестности этой точки. Тогда возможны следующие случаи.
В случаях (3) и (4) говорят, что функция имеет локальный максимум (минимум). Локальные максимум и минимум называют локальным экстремумом. Предположим, что функция f в точке х имеет производную , так что величина стремится к положительному числу, если . Но тогда в некоторой окрестности точки х , т.е. функция возрастает.
Таким образом, справедлива теорема: I. Если функция f в точке х имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) в этой точке. Из этих рассуждений следует и другая теорема.
Теорема Ферма. Если функция f достигает в точке х локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная , то последняя равна нулю.
Доказательство: Если бы , то в силу предыдущей теоремы функция либо возрастает, либо убывает и экстремума нет. Теорему можно сформулировать и так: Для того, чтобы функция f, имеющая в точке х производную, достигла в ней локального экстремума, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна нулю. Отметим, что условия недостаточно, чтобы функция имела локальный экстремум.
Пример: при , но функция возрастает в окрестности точки т.к. как при , так и при . Аналогично, функция убывает в окрестности точки .
|