Возрастание и убывание функции в окрестности

Будем изучать поведение функции y=f (x) вблизи некоторой точки х. Конечно, мы считаем, что f (x) определена в некоторой окрестности этой точки. Тогда возможны следующие случаи.

В случаях (3) и (4) говорят, что функция имеет локальный максимум (минимум). Локальные максимум и минимум называют локальным экстремумом.

Предположим, что функция f в точке х имеет производную , так что величина стремится к положительному числу, если . Но тогда в некоторой окрестности точки х , т.е. функция возрастает.

Таким образом, справедлива теорема:

I. Если функция f в точке х имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) в этой точке.

Из этих рассуждений следует и другая теорема.

Теорема Ферма.

Если функция f достигает в точке х локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная , то последняя равна нулю.

Доказательство:

Если бы , то в силу предыдущей теоремы функция либо возрастает, либо убывает и экстремума нет.

Теорему можно сформулировать и так:

Для того, чтобы функция f, имеющая в точке х производную, достигла в ней локального экстремума, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна нулю.

Отметим, что условия недостаточно, чтобы функция имела локальный экстремум.

Пример:

при , но функция возрастает в окрестности точки т.к. как при , так и при .

Аналогично, функция убывает в окрестности точки .