Производная. Ее физический и геометрический

Пусть функция определена на интервале . Возьмем какое-либо значение и дадим аргументу x произвольное приращение , такое, что .

Назовем приращением функции величину .

Мы уже раньше выяснили, что если при , то функция непрерывна в точке х:

если , то функция непрерывна. Будем считать функцию непрерывной.

Будем также считать, что и составим отношение .

Т.к. величина аргумента x фиксирована, а произвольное приращение аргумента, то отношение представляет собой функцию от . Это отношение определено при небольших (в окрестности точки ) за исключением точки . Мы имеем право рассматривать вопрос о существовании предела этого отношения при .

Определение.

Производной функции в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.

Обозначение: .

Отметим, что если определена на и если при всех имеется производная, то эта производная является функцией и эта функция также определена на интервале .

Физический смысл производной

Пусть функция описывает закон движения точки по прямой линии, причем х представляет собой время, а у – путь, пройденный за это время точкой от начала отсчета пути. Тогда – средняя скорость движения за промежуток времени от х до , а – мгновенная скорость в момент времени х. В этом и заключается физический смысл производной (точнее говоря, механический).

Точно так же можно считать, что х – время, а функция определяет количество электричества, прошедшее через поперечное сечение некоторого проводника за время х. В этом случае определяет скорость изменения во времени количества электричества, т.е. представляет собой силу тока в проводнике в момент времени х.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции на интервале . Пусть , а – произвольное приращение аргумента. Пусть М и Р – точки графика, соответствующие значениям аргумента х и .

Проведем , . Тогда Проведем секущую MP. Обозначим угол ее наклона к оси x .

Тогда, очевидно, . (*)

Теперь устремим к нулю. Очевидно, точка Р на графике будет приближаться к точке М, а секущая МР будет поворачиваться относительно точки М. При этом угол будет изменяться. Поскольку в равенстве (*) правая часть имеет предел при , равный значению производной , это означает, что существует предельное значение угла при . В этом случае говорят, что график имеет в точке x касательную, тангенс угла наклона этой касательной к оси Ох равен производной в точке х. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом этой прямой. Таким образом, геометрический смысл производной состоит в следующем: производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х.

Понятие правой и левой производной

Определение.

Правой(левой) производной функции в точке х называется .

Обозначается: правая, левая произ-водные.

Если функция имеет в точке х производную, то она имеет в этой точке и левую и правую производные, причем они совпадают. Если функция имеет в точке х и правую и левую производные, и они совпадают, то функция имеет в этой точке производную.

Пример функции, имеющей левую и правую производную, но не имеющей производной.

Пусть

Правая производная

Левая производная

Производной нет, т.к. нет касательной!

График:

Теорема о непрерывности функции, имеющей производ-

ную

Если функция f имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Из существования предела при следует, что , где при . Отсюда

Перейдем к пределу при .

Это и означает непрерывность функции.

Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Непрерывная функция может не иметь производной. Пример мы уже имели:

В точке х=0 функция непрерывна, но произ-водной не имеет.