Производные высшего порядка. Формула Лейбница

Если найдена производная от функции f (x), т.е. вычислена – снова функция аргумента х. Можно еще раз найти производную от . Если эта производная существует, то она называется второй производной от f (x) и обозначается через или .

.

По индукции производная n -го порядка определяется как первая производная от производной (n–1) порядка

.

Пример 1.

Пусть , где m – целое число. Эта функция имеет производные любого порядка.

2. Пусть , где - произвольное (не целое) число. Тогда для x>0 эта функция имеет любую производную, вычисляемую по аналогичной формуле:

3.

4.

Формула Лейбница

Это формула дает возможность вычислить производную n -го порядка от произведения двух функций u (x) v (x).

Давайте найдем несколько первых производных и установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка.

Вспомним бином Ньютона:

Если в этой формуле заменить (соответственно считая, что ), то и получим формулу, которая носит название формулы Лейбница.

Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически

1. Сначала покажем способ нахождения производных различного порядка от неявных функций (на примере).

Пусть – неявная связь у и х (у не выражен явно через х).

Или (1)

Дифференцируем по х обе части равенства, имея в виду, что у есть функция х:

.

Отсюда: . Первая производная найдена, но выражена она и через х и через у.

Последнее равенство еще раз дифференцируем по х (имея опять в виду, что у=у (х)).

Подставляя вместо ее значение (зависящее от х и у), найдем

Из (1) заметим, что , так что

Дифференцируя по х полученное равенство, найдем и.т.д.

Производная второго порядка от функции, заданной параметрически

Мы знаем формулу для первой производной

Продифференцируем это равенство по х, имея в виду, что t – функция х.

Пример.

Date: 2015-09-02; view: 1804; Нарушение авторских прав