Разрывы первого и второго рода

Определение.
Пусть функция определена на интервале (a, b), кроме, быть может, точки . Точка с называется точкой разрыва функции , если функция f не определена при , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Рассмотрим график . Кружок в точке А означает, что эта точка входит в область значений , т.е. . Стрелка в точке В означает, что точка В в область значений функции не входит. Поскольку , функция имеет разрыв в точке с.

Другие возможные случаи разрывов.

Если функция f имеет конечные пределы и , но , то функция имеет в точке разрыв I рода.

Если , то в точке устранимая особенность.

Если доопределить так, что , то получим непрерывную функцию.

Пример разрывной функции (функция Кронекера):

Точка является точкой разрыва I рода.

Если у функции не существует ни левого, ни правого предела, либо одного из них, либо эти пределы бесконечны в точке С, то функция имеет разрыв II рода.

Пример 1.

;

–точка разрыва II рода.

Пример 2.

Ее график имеет вид:

Эта функция не имеет в точке ни левого, ни правого предела. – точка разрыва II рода.

Пример 3.

Точки , – точки разрыва II рода. В них не определена, а пределы слева и справа бесконечны.

Date: 2015-09-02; view: 571; Нарушение авторских прав