И непрерывности обратной функции

Определение.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на отрезке , если для любых

выполняется неравенство .

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Если неравенства строгие, то функция называется возрастающей (убывающей) на отрезке. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Теорема.

Рассмотрим непрерывную строго возрастающую функцию на отрезке , причем Тогда существует обратная к f функция , однозначная, строго возрастающая и непрерывная на .

Доказательство существования.

Поскольку каждому значению соответствует только одно значение , то любому значению y из можно поставить в соответствие именно то значение x, для которого обозначим это соответствие так: . Тем самым определена обратная функция.

Доказательство возрастания.

Из условия возрастания следует: если Верно и обратное утверждение: если

Но и получаем: если т.е. обратная функция – возрастающая.

Доказательство непрерывности обратной функции.

Докажем непрерывность обратной функции в произвольной точке . Обозначим и выберем произвольное , такое, что . Пусть

Выберем Тогда, очевидно,

а . (*)

Пусть теперь , т.е. .

С учетом (*) можно записать, что .

В силу возрастания функции следует, что

Но , поэтому или А это и означает, что функция непрерывна в точке