Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 1.

Если функции и непрерывны в точке , то функции (с – константа), + , , а если , то и также непрерывны в точке _.

Доказательство:

Следует из свойств пределов и определения непрерывности. Например:

.

Теорема 2 (непрерывность сложной функции).

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция также непрерывна в точке , т.е. . (*)

Доказательство.

Т.к. функция непрерывна в точке , то

. Т.к функция непрерывна в точке , то , но т.к. при любом стремлении и , то , т.е. , т.е. при . Сложная функция непрерывна.

Формулу (*) можно записать в виде , которая может быть использована при вычислении пределов.

Можно также записать: , где .

Это правило замены переменных, которое очень часто используется при вычислении пределов.

В качестве примеров докажем непрерывность некоторых элементарных функций.

1. – непрерывна в любой точке .

Функция

2. – непрерывна в любой точке .

;

Функция

Справедлива теорема (без доказательства).

Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Подчеркну, что речь идет не только об основных элементарных функциях, а вообще об элементарных функциях, т.е. таких, которые получены из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

Теорема об ограниченности непрерывной функции.

Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой функция ограничена.

Доказательство.

Из определения непрерывности следует, что определена в некоторой окрестности точки и, следовательно, можно взять любую последовательность , и при этом . Сходящаяся же последовательность ограничена, поэтому и ограничена.