Два замечательных предела

Для вывода формул первого и второго замечательных пределов сначала докажем вспомогательную теорему (лемму).

Лемма.

Пусть в некоторой -окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) заданы функции , причем и . Тогда .

Доказательство.

Пусть – произвольная последовательность, при , элементы которой лежат в указанной окрестности точки и не равны , а – соответствующие последовательности значений функции. По условию и . Но тогда в силу теоремы, доказанной для последовательности, . Поскольку – произвольная, сходящаяся к последовательность значений аргумента, это и означает, что . Лемма доказана.

1. Первый замечательный предел

.

Функция не определена. Найдем ее предел при . Для этого рассмотрим на окружности радиуса 1 два радиуса OA и OM, острый угол между которыми равен x (в радианах).

Из точки M проведем , а продолжив OM, из точки С проведем Из рисунка ясно, что

Sсектора OMA < . (1)

Поскольку OM=OA=1, то

Sсектора= OMA =

Тогда неравенство (1) имеет вид:

.

Т.к. x -острый угол и , разделив это неравенство на sinx>0, получим

или

. (2)

Это неравенство получено в предположении, что x>0. Если же x<0, то cos(–x) = cosx и , поэтому оно справедливо и при x <0. Из неравенства (2) следует, что переменная заключена между двумя переменными, имеющими при один и тот же предел: ; . Поэтому согласно указанной лемме .

2. Второй замечательный предел

Мы уже знаем, что . При этом n принимает целые положительные значения. Оказывается, если , принимая любые, в том числе и дробные значения, предел также оказывается равным e.

В самом деле, любое положительное значение x заключено между двумя положительными и целыми числами:

.

При этом выполняются неравенства:

; ;

.

Если , то и . Найдем пределы, к которым стремятся переменные, между которыми заключена переменная .

Пределы оказались одинаковыми. Поэтому в соответствии с леммой .

Мы доказали, что если x всегда положителен и , то .

Можно доказать, что этот предел равен e при произвольном стремлении x к или

Этот же предел можно записать в другой форме, обозначив и рассматривая .

.

Теперь рассмотрим примеры вычисления пределов.

Пример 1.

Найти . Т.к. функция непрерывна в любой точке, то

Пример 2.

Найти

Пример 3.

Найти Т.к. функция непрерывна в каждой точке ( элементарная функция), то

Пример 4.

Используем замену переменной

Тогда =

Пример 5.

.

Пример 6.

Пример 7.