Эквивалентные бесконечно малые функции и их

Определение.

Бесконечно малые функции называются эквивалентными бесконечно малыми при , если

Пишут так: при .

Теорема.

Пусть в окрестности точки , за исключением, быть может, ее самой, задана функция и бесконечно малые функции . Тогда

Это равенство понимается в смысле: если существует предел его правой части, то существует равный ему предел левой части (и обратно). Отсюда же следует, что если один из пределов не существует, то не существует и другой.

Доказательство.

Пусть тогда

Аналогично доказывается обратное утверждение.

Пары эквивалентных бесконечно малых, которые используют при вычислении пределов:

9) при