Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа

Функцией-оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. – непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале.

2. Существуют такие числа М и , что .

Это неравенство означает, что может расти не быстрее экспоненциальной функции . Например, – не является оригиналом.

3. , для всех .

Первые два условия часто выполняются в практических задачах. Чтобы выполнялось третье условие, используется функция

(2.1)

которая называется функцией Хевисайда.

Все функции-оригиналы в операционном исчислении считаются умноженными на множитель Хевисайда . Однако этот множитель, как правило, не записывается, а только подразумевается.

Функция называется изображением функции , если они связаны соотношением

(2.2)

Правая часть (2.2) – преобразование Лапласа для функции , а сам интеграл называется интегралом Лапласа; p – комплексный параметр. Тот факт, что является изображением функции , символически записывается в виде или = , L – оператор Лапласа:

.