Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве

Теорема 4.11 Пусть и – симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве V. Допустим далее, что для всех , , справедливо неравенство (т.е. квадратичная форма – положительно определенная). Тогда в пространстве V можно указать базис такой, что квадратичные формы и могут быть представлены в виде

, (4.42)

, (4.43)

где – координаты вектора в базисе .

Алгоритм приведения пары квадратичных форм одним преобразованием одну к каноническому виду, а другую – к нормальному

1. Находим матрицы и квадратичных форм и соответственно и определяем решения уравнения . Тогда канонический вид квадратичной формы , а нормальный вид квадратичной формы .

2. Найдем базисные векторы из системы уравнений для каждого .

3. По матрице строим поляризацию квадратичной формы . Симметрическая билинейная функция определяет скалярное произведение. К полученным базисным векторам применяется процесс ортогонализации Грамма-Шмидта относительно этого скалярного произведения.

4. Составляем матрицу перехода из координат ортонормированных векторов и получаем формулы замены координат.

Пример 10 Для квадратичных форм и определить базис, в котором одна из этих квадратичных форм имеет канонический вид, а другая квадратичная форма приводится к нормальному виду, и соответствующую замену координат.

Решение. Находим матрицы и квадратичных форм и соответственно:

, .

Форма является положительно определенной, так как главные миноры ее матрицы положительны.

Решим уравнение :

,

,

, , , .

Тогда канонический вид квадратичной формы , а нормальный вид квадратичной формы .

Для каждого из чисел , решим матричное уравнение .

При получаем ,

При получим . Тогда первый базисный вектор имеет вид .

При получаем ,

При получим . Тогда второй базисный вектор имеет вид .

По матрице строим поляризацию квадратичной формы . Пусть и :

.

Симметрическая билинейная функция задает скалярное произведение. Векторы и ортогональны относительно этого скалярного произведения: . Тогда векторы и образуют ортонормированный базис относительно скалярного произведения, определяемого функцией .

,

,

,

.

Тогда , .

Запишем координаты векторов и в виде столбцов матрицы. Получим матрицу перехода:

.

Отсюда получаем замену переменных: