![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т.е. будут указаны методы выбора такого базиса
где Коэффициенты Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве. Настоящий параграф посвящен не только доказательству возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях. Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат – преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат. 1. Метод Лагранжа. Докажем следующую теорему. Теорема 4.3 Любая квадратичная форма Доказательство. Проведем доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата. Будем считать, что Убедимся, во-первых, что с помощью невырожденного преобразования координат форму Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное невырожденное преобразование является тождественным. В случае, если Если же все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом. Пусть, например,
После этого преобразования коэффициент при Итак, будем считать, что в соотношении (4.11)
Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом:
Очевидно, выражение (4.13) можно теперь переписать так:
где Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат: С помощью этого преобразования и представления (4.14) для
Итак, если форма Обратимся теперь к квадратичной форме Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму Отметим, что нужное преобразование исходных координат Итак, первый способ решения основан на доказательстве теоремы Лагранжа. Второй способ решения. Введем в рассмотрение следующую невырожденную матрицу
Она получена из единичной матрицы заменой элемента, стоящего в i -й строке и j -ом столбце, на число Если же умножать матрицу Замечание 1 Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Отметим, что канонический базис определен неоднозначно. Замечание 2 Если форма
Ясно, что Пример 3 Привести к каноническому виду квадратичную форму
Решение. І способ. Сделаем замену переменных
В соответствии со сказанным при доказательстве теоремы 3.1 сделаем новую замену переменных
получим
После замены переменных
ІІ способ. Выполним согласованные элементарные преобразования строк и столбцов матрицы квадратичной формы и присоединенной единичной матрицы:
Матрица третьего порядка, стоящая сверху, является диагональной. Значит, это матрица квадратичной формы, имеющей канонический вид. В соответствии с алгоритмом матрица третьего порядка, стоящая снизу – это искомая матрица перехода. Поэтому и 2. Метод Якоби. При некоторых дополнительных предположениях о квадратичной форме Предварительно мы введем понятие треугольного преобразования базисных векторов. Преобразование базисных векторов
Замечание. Так как определитель матрицы треугольного преобразования (4.17) отличен от нуля (равен 1), то векторы Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы
Справедливо следующее утверждение. Теорема 4.4 (Якоби) Пусть миноры Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты
Пример 4 Найти канонический вид квадратичной формы
методом Якоби. Запишем матрицу квадратичной формы:
Пример 5 Найти канонический вид квадратичной формы Запишем матрицу квадратичной формы: Date: 2015-08-24; view: 6613; Нарушение авторских прав |