Линейные операторы в евклидовом пространстве

3.1 Сопряженный оператор

Пусть – евклидово пространство.

Линейный оператор называется сопряженным к линейному оператору , если для любых и из выполняется соотношение

. (3.1)

Легко убедиться в том, что оператор , сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это следует из очевидного соотношения

,

справедливого для любых элементов , , и любых комплексных чисел α и β.

Лемма 3.1 Если квадратные матрицы М и N порядка п таковы, что для любых вектор-столбцов выполняется соотношение , то .

Теорема 3.1 Любому линейному оператору соответствует единственный сопряженный оператор , причем его матрицей в любом ортонормированном базисе является матрица , транспонированная матрице линейного оператора А в том же базисе .

Пример 1 Вектор порождает линейный оператор согласно формуле

.

Оператор, сопряженный к оператору А, можно определить, опираясь на свойства скалярного, векторного и смешанного произведений:

.

Из приведенных соотношений видно, что .

Пример 2 Линейное пространство бесконечно дифференцируемых на отрезке функций, у которых в точках и производные любого порядка равны нулю со скалярным произведением (см. 2.1). Отображение , которое каждой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным оператором. Оператором, сопряженным к А, будет , поскольку, согласно

.

Отметим следующие свойства сопряженных операторов:

1. . 4. .

2. . 5. .

3. .

Замечание. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3 формулируется так: ().

Пример 3 В базисе , евклидова пространства известна матрица линейного оператора. Определить матрицу сопряженного оператора в этом базисе.

Решение. Определим элементы матрицы Грамма базисных векторов , :

, , .

Тогда, . Отсюда, . Поэтому матрица сопряженного оператора в базисе , равна .

Пример 4 Пусть – ортонормированный базис в унитарном пространстве , , . Линейный оператор , действующий в этом пространстве, имеет в базисе матрицу . Найти матрицу сопряженного оператора в базисе .

Решение. Матрица оператора в ортонормированном базисе связана с матрицей оператора равенством . При переходе к базису матрица оператора преобразуется по формуле , где – матрица перехода от базиса к базису , т.е. . Аналогично, матрица связана с матрицей соотношением . Отсюда следует, что и, следовательно, . Таким образом, получаем

.

Так как , то

.