Метод малого параметра

Малой называется величина, значение которой можно сделать как угодно малой, то есть её значение незаметно по сравнению с другими параметрами.

Однако в динамических системах как угодно малая величина может качественно влиять на поведение системы.

Найдем условия, при которых действительно можно пренебречь малым значением.

Пусть уравнение системы имеет следующий вид:

где μ – относительно малая величина, которой хочется пренебречь; .

При μ = 0 из (15.1) получаем вырожденную систему

В таком случае о предположительно малой величине можно говорить, если в рабочей области пространства состояний.

Предположим, что решение систем (15.1) и (15.2) имеет вид, изображенный на рис. 15.1, x ₁ и x ₂ – решение систем (15.1) и (15.2) соответственно.

Рис. 15.1 Примерный вид решений систем (15.1) и (15.2)

На рис. 15.1 и она непрерывно зависит от параметра μ.

Предполагается, что в любой момент времени t и при t →∞, ∆ небольшая. На практике даже при малом значении μ при t →∞.

Утверждение. Если вырожденная система (15.2) экспоненциально устойчива, то разница между двумя решениями стремится к нулю при t →∞.

Экспоненциальная устойчивость системы означает, что переходный процесс имеет конечную длительность, то есть заканчивается к каком-то моменту времени.

Асимптотическая устойчивость системы означает, что переходный процесс устанавливается когда-то в асимптотике.

Утверждение доказывается с помощью второго метода Ляпунова.

Вывод: пренебречь малым значением μ можно при условии, что вырожденная система (15.2) экспоненциально устойчива.