Комплексного числа

Рассмотрим комплексное число z = x + iy.

Из рис.1 видно, что x = r cos j, y = r sin j. Поэтому комплексное число z можно представить в виде

z = r cos j + i r sin j = r (cos j + i sin j)

или z = |z| (cos j + i sin j) (5)

Такой вид комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Используя известную формулу Эйлера

e ^{i j} = cos j + i sin j,

можно комплексное число записать в показательной форме:

z = re ^{i j} = |z|e ^{i j} (6)

Используя известные тригонометрические формулы, а также правила действий со степенями, можно вывести формулы для умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

Умножение.

Пусть z₁= r₁ (cos j₁ + i sin j₁) = r₁ e ^{i j1}

z₂= r₂ (cos j₂ + i sin j₂) = r₂ e ^{i j2};

Тогда

z₁× z₂ = r₁r₂ (cos(j₁ + j₂) + i sin(j₁ + j₂)) = r₁r₂ e ^{i (j1+ j2)} (7)

Деление.

= (cos(j₁ - j₂) + isin(j₁ - j₂)) = e ^{i j2 - j2)} (8)

Возведение в степень.

Используя формулу (7), получим

zⁿ = rⁿ (cos nj + i sin nj) (9)

Примеры.

1. Представить в тригонометрической и показательной формах число .

Решение;

,y = 1, ,

так как , , то ,

;

2. Представить в тригонометрической и показательной формах число .

Рис. 3

Из рисунка 3 видно, что

3. Даны числа ; .

Найти ,

Решение.

Представим числа , в тригонометрической форме:

Date: 2015-07-02; view: 443; Нарушение авторских прав