Геометрическое изображение комплексных чисел

Поскольку комплексное число z = x + iy можно интерпретировать как упорядоченную пару чисел (x,y), то удобно изображать комплексное число как точку на плоскости с этими координатами. Саму плоскость при этом называют комплексной плоскостью.

Длина r радиус-вектора OM (рис.1) называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол j, образованный радиус-вектором с осью Ох и отсчитываемый против часовой стрелки, - аргументом комплексного числа; он обозначается через Аrg z.

Рис. 1

Очевидно, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2p:

j = arg z + 2kp, k = 0, ±1, ±2,...,

где 0£ arg z£2p – главное значение аргумента.

Из чертежа видно, что

r = |z| = (3); tg j = (4).

Так как формула (4) не определяет угол j однозначно, то следует учитывать следующие соотношения:

arg z = arctg при x > 0, y ³ 0;

arg z = p + arctg при x < 0, y ³ 0;

arg z = p + arctg при x < 0, y < 0;

arg z = 2p + arctg при x > 0, y < 0.

Примеры.

Изобразить на комплексной плоскости числа

1) z₁ = 1+i; 2) z₂ = - +i; 3) z₃ = -1-i; 4) z₄ = 1-i ;

5) z₅ = -1; 6) z₆ = -2i

и найти их модули и аргументы.

Рис. 2

Решение.

При решении всех примеров выбиралось главное значение аргумента.

1) , tg =1,	4) , tg ,
2) , tg ,	5) , tg ,
3) , tg 1,	6) , tg

Date: 2015-07-02; view: 581; Нарушение авторских прав