Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами

Глава 1. Комплексные числа

Комплексные числа.

Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами.

1.1.1. Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b ¾ произвольные действительные числа, i ¾ некоторый новый символ, называемый мнимой единицей; a называется действительной частью, b ¾ мнимой частью комплексного числа a + bi.

Множество всех комплексных чисел обозначается через С: С ={ a + bi | a, b Î R }[1].

Действительная часть a комплексного числа a = a + bi обозначается через Re a, а мнимая часть ¾ через Im a. Таким образом, если a = a + bi, то Re a = a и Im a = b.

Два комплексных числа называются равными, если их действительная и мнимая части равны соответственно: a = b Û Re a =Re b и Im a =Im b.

Число a +(- b) i обозначают через a - bi, то есть a +(- b) i = a - bi.

1.1.2. Определение. Суммой двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c)+(b + d) i. Их произведением называется комплексное число (ac - bd)+(ad + bc) i.

Сумма комплексных чисел a и b обозначается через a + b, а их произведение ¾ через ab. Таким образом, по определению

(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d) i и (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+(ad + bc) i.

1.1.3. Теорема. Операции сложения и умножения над комплексными числами удовлетворяет условиям:

1) Для любых a, b из С следует, что a + b = b + a.

2) Для любых a, b и g из С следует, что (a + b)+ g = a +(b + g).

3) Для любых a, b и g из С следует, что

(a + b) g = ag + bg и a (b + g)= ab + ag.

4) В С существуют такие комплексные числа 0 _С и 1 _С, что 0 _С + a = a +0 _С = a и 1 _С × a = a ×1 _С = a для любого a из С.

5) Для любого a из С в С существует b такой, что a + b =0 _С. Такой b обозначается через - a.

6) Для любого a ¹0 _С из С в С существует b такой, что a × b =1 _С.

При этом 0 _С =0+0 i, 1 _С =1+0 i, если a = a + bi, то - a =(- a)+(- b) i, и если a = a + bi ¹0 _С (то есть a ²+ b ²¹0), то a = - i. Числа 0 _С и 1 _С называются соответственно комплексным нулём и комплекснойединицей, - a - противоположным кa, a - обратным кa.

Как видим, свойства 1) - 6) операций сложения и умножения над комплексными числами практически идентичны аналогичным операциям над действительными числами. Из этих свойств (назовём их основными) вытекают другие, которые также идентичны свойствам сложения и умножения действительных чисел. Среди них укажем следующие:

7) 0 _С и 1 _С единственны.

8) В суммах и произведениях вида (…((a ₁+ a ₂)+ a ₃)+…+ a_k) и (…((a ₁ a ₂) a ₃)… a_k) скобки можно расставлять произвольным образом. В связи с этим скобки принято опускать:

(…((a ₁+ a ₂)+ a ₃)+…+ a _k)= a ₁+ a ₂+…+ a_k,

(…((a ₁ a ₂) a ₃)… a_k)= a ₁ a ₂… a_k.

9) Для любого a из С -(- a)= a и (a ) = a (a ¹0 _С).

10) Для любых a, b из С существует единственное х из С такое, что х + a = b и a + х = b. Оно равно х = b +(- a). Это число обозначается через b - a и называется разностью чисел b и a.

11) Для любых a, b из С (a ¹0 _С) существует единственное х из С такое, что х a = b и a х = b. Оно равно х = ba . Это число обозначается через и называется частным чисел b и a.

12) Для любых комплексных чисел a ₁, a ₂, …, a_k, b имеют место равенства

(a ₁± a ₂±…± a_k) b = a ₁ b ± a ₂ b ±…± a_kb,

b (a ₁± a ₂±…± a_k)= ba ₁± ba ₂±…± ba_k.

Наконец, для комплексных чисел, так же, как и для действительных, определена степень с целым показателемk:

a^k =

для которой выполнены свойства, аналогичные свойствам степени действительного числа с целым показателем:

a^ka^l = a^{k + l} , = a^{k - l}, (a^k) ^l = a^kl, a^kb ^k =(ab) ^k, = .

Отметим также, что справедливы свойства, аналогичные для степеней сумм и разностей действительных чисел. В частности, для любых комплексных чисел a и b имеют место формулы сокращённого умножения:

a ² - b ²=(a - b)(a + b),

a ³ - b ³=(a - b)(a ² + ab + b ²),

a ³ + b ³=(a + b)(a ² - ab + b ²),

(a + b)²= a ² +2 ab + b ²,

(a - b)²= a ² -2 ab + b ²,

(a + b)³= a ³ +3 a ² b +3 ab ²+ b ³,

(a - b)³= a ³ -3 a ² b +3 ab ²- b ³.

В общем случае справедлива формула бинома Ньютона:

(a + b) ⁿ = .

1.1.4. Упражнение. Вычислить:

а) (3-2 i)(2+3 i)+(5+2 i)(2- i); г) ;

б) (3-2 i)(1-3 i)-(5+2 i)(1+2 i); д) ;

в) ; е) .

Решение. г) Найдём отдельно числитель, предварительно вычислив (2+ i)³ и (2- i)³.

Имеем

(2+ i)²=(2+ i)(2+ i)=(2×2-1×1)+(2×1+1×2) i =3+4 i,

(2+ i)³=(2+ i)²(2+ i)=(3+4 i)(2+ i)=(3×2-4×1)+(3×1+4×2) i =2+11 i,

(2- i)²=(2+(-1) i)²=(2+(-1) i)(2+(-1) i)=(2×2-(-1)×(-1))+(2×(-1)+(-1)×2) i =3-4 i,

(2- i)³=(2- i)²(2- i)=(3-4 i)(2- i)=(3×2-(-4)×(-1))+(3×(-1)+(-4)×2) i =2-11 i.

Поэтому

(2+ i)³+(2- i)³ [2][(2+ i)+(2- i)][(2+ i)²-(2+ i)(2- i)+(2- i)²]=

=(4+0 i)[(3+4 i)-(5+0 i)+(3-4 i)]=(4+0 i)(1+0 i)=4+0 i.

Далее,

(2+ i)³+(2- i)³=(2+11 i)+(2-11 i)=(2+2)+(11+(-11)) i =4+0 i,

= =(4+0 i)(5+2 i) =(4+0 i)( + i)=

=(4+0 i)( - i)=[4× -0×(- )]+[4×(- )-0× ] i = - i.

á(1) применяем формулу для a ³+ b ³ при a =2+ i и b =2- i ñ

Ответ: - i.