![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Геометрия комплексных чисел
2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть a = a + bi ¾ произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число a такое, что Re a = a и Im a = b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие y такое, что y (a + bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.
2.1.1. Упражнение. Построить точки, изображающие комплексные числа 1, -1, i, - i, 1+ i, 1- i, 2+3 i, 2-3 i. 2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям: а) | z |=2; б) | z -(2+3 i)|=1; в) | z +1+ i |=2; г) | z - i |£2; д) | z +(2-3 i)|³2; е) | z -1- i |<3; ж) 2<| z |<4; з) 1£| z +2 i |<3; и) | z -2|+| z +2|=5; к) | z +1|+| z -1|=4; л) | z +2|-| z -2|=3; м) | z +1|-| z -1|=4; н) arg z = с) |Re z |<2; т) |Im z |£3.
![]()
Решение. б) Пусть z = x + yi, где x =Re z и y =Im z. Тогда z -(2+3 i)=(x -2)+(y -3) i и | z -(2+3 i)|= в) Аналогично предыдущему, если z = x + yi, то | z - i |=
Аналогично, a - b =(a - c)+(b - d) i изображается вектором с координатами (a - c, b - d), и при вычитании комплексных чисел они вычитаются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел. Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел: | a |-| b |£| a + b |£| a |+| b |, (2.2.1) | a |-| b |£| a - b |£| a |+| b |, (2.2.2) |- a |=| a |.
2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть a = a + bi ¾ комплексное число с модулем r =| a | и аргументом Arg a. Тогда из геометрических соображений имеем a = r cos j и b = r sin j, откуда a + bi = r (cos j + i sin j). (2.3.1) Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числаa + bi. Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a + bi достаточно найти модуль r по формуле r = и аргумент Arg a = j из системы уравнений
При этом в качестве аргумента Arg a берётся, как правило, главное значение arg a Î(- p, p ]. 2.3.1. Упражнение. Представить в тригонометрической форме комплексное число: а) 1; б) -4; в) i; г) -2 i; д) 1+ i; е) 1- i; ж) 3+3 i; з) 1+ Решение. б) Комплексное число -4 представляется вектором с координатами (-4; 0). Поэтому |-4|=4 и arg(-4)= p. Следовательно, -4=4(cos p + i sin p) ¾ тригонометрическая форма числа -4. з) Имеем a =1 и b = Ответ: б) -4=4(cos p + i sin p); з) 1+ 2.3.2. Теорема. Пусть комплексные числа a и b = a + bi записаны в тригонометрической форме: a = r 1(cos j 1+ i sin j 1), b = r 2(cos j 2+ i sin j 2). Тогда ab = r 1 r 2[cos(j 1+ j 2)+ i sin(j 1+ j 2)], (2.3.4)
Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении ¾ модули делятся, аргументы вычитаются. 2.3.4. Следствие. Если a = r (cos j + i sin j), то для любого целого числа n имеет место равенство an = r n (cos nj + i sin nj). (2.3.6) Формула (2.3.6) носит название формулы Муавра. 2.3.5. Упражнение. Найти значения выражений: а) (1+ i)20; б) (1- i)100; в) (1+ Решение. а) Представим 1+ i в тригонометрической форме: 1+ i = (1+ i)20=( =210(cos 5 p + i sin 5 p)=210(cos p + i sin p)= -210. г) Представим
Теперь по формуле Муавра получаем
= = á(1) Применяем формулу (2.3.5)ñ Ответ: а) -210; б) 27(-1+ i). Date: 2015-07-02; view: 5968; Нарушение авторских прав |