Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа

Определение комплексного числа.

Число (1.1),

где - действительные числа, - мнимая единица, называется комплексным числом.

Формы представления комплексных чисел

Форма называется алгебраической формой комплексного числа.

Комплексное число может быть представлено в тригонометрической форме. Из рисунка 1.2 следует Подставив эти значения в уравнение (1.1), получаем

(1.4)

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Известна формула Эйлера, связывающая показательную функцию комплексного переменного с тригонометрическими функциями вещественного переменного:

. Учитывая эту формулу, формулу (1.4) можно переписать в виде: (1.5) - показательная форма комплексного числа.

Замечание. В показательной и тригонометрической формах комплексного числа - модуль комплексного числа,

Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором числа. Эта координата многозначна. . называется главным значением аргумента, который или .

Пример 1. Записать число в тригонометрической форме.

Находим модуль числа Поскольку число находится во второй четверти, . Окончательно, - тригонометрическая форма числа. - показательная форма заданного комплексного числа.

Если x =0, комплексное число называется чисто мнимым, оно находится на мнимой оси, если y =0, число - действительное.

Число называется сопряженным числу .

Число называется противоположным числу .