Что означают понятия «вариационный ряд», «статистический ряд», «интервальный статистический ряд», «гистограмма», «полигон частот»?

Распределение случайной величины подчиняется определённым законам, может, например, концентрироваться в центре интервала шкалы или наоборот, рассеиваться равномерно в пределах некоего интервала. От распределения случайной величины зависит способ обращения с ней, способ её оценки.

Наиболее простой характеристикой распределения и одновременно способом упорядочения и способом представления случайной величины является статистический ряд. Это таблица, которая в первой строке содержит значения Z_(i), а во второй - числа их повторений (табл. 1.1). Число n_i называют частотой, а отношение n_i/n - относительной частотой.

Таблица 1.1.Статистический ряд

Статистические данные,представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Разновидностьстатистического ряда - интервальный статистический ряд ( таблица 1.2). В интервальном статистическом ряде исходные данные группируют следующим образом: отрезок J, содер­жащий все выборочные значения, разбивают на mпромежутков J_i,как правило, одинаковой длины. При этом считают, что каждый промежуток содержит своё левое граничное значение, но лишь по­следний промежуток содержит и своё правое граничное значение.

Таблица 1.2.Интервальный статистический ряд

J1	J2	…	Jm	J
n1	n2	…	nm

Иногда в верхней строке табл. 1.2 указывают не интервал, а его середину, а в нижней строке вместо частоты записывают относительную частоту n_i/n. Число промежутков m, на которые разбивают отрезок J, выбирают в зависимости от объема выборки n. Для ориентировочной оценки величины mможно пользоваться формулой:

(1.2)

Статистический или интервальный ряд можно представить графиком, называемым гис­тограммой (рис. 1.1), составленным из прямоугольников с высотами n_i или n_i/n. Нетрудно увидеть, что в последнем случае суммарная площадь всех прямоугольни­ков, образующих такую диаграмму, равна 1:

(1.3)

Эмпирическое распределение случайной величины X, представленное выборкой объёмом n, можно изобразить графиком, называемым гис­тограммой (рис. 1.1), полученной на основе статистического ряда или интервального статистического ряда [27]. Он состоит из прямоугольников, построенных на интервалах (отрезках числовой оси), как правило, одинаковой длины, высотой, равной абсолютной (n_i) или относительной (n_i/n) частоте попадания X в соответствующие интервалы.

Рис.1.1.Гис­тограмма случайной величины X

Наряду с гистограммой для описания плотности рассеяния случайной величины X часто используют другое графи­ческое представление, называемое полигоном частот. Это ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных верхних сторон прямоуголь­ников в гистограмме (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Гистограмма (пунктир) и полигон частот эмпирическойфункциирас­пределения

5 .Нарисуйте график плотности стандартного нормального распределения, указав на нём величины среднего значения и стандартного отклонения. В чём его «удобство» по сравнению с «обычным» нормальным распределением? Какие ещё распределения случайных величин Вы знаете?

По виду гистограммы или полигона частот можно судить о характере плотности рассеяния случайной величины X. Например, по распределениям, представленным на рис. 1.1 и 1.2, видно, что плотность рас­пределения максимальна в середине рассматриваемого интервала шкалы x и минимальна по краям.

Эмпирической плотностью рас­пределения называют функцию, которая во всех точках области распределения Jпринимает значение относительных частот, а вне области Jравна нулю.

Для непрерывных случайных величин, анализу которых посвящено настоящее учебное пособие, длина интервалов J_k (см. рис. 1.1 и 1.2) может быть бесконечно малой. Тогда график плотности распределения из гистограммы или полигона частот преобразуется в непрерывную функцию плотности непрерывного рас­пределения, рис. 1.3.

Рис. 1.3. Графики плотности распределения дискретной и непрерывной случайных величин (D - наибольшее возможное значение дискретной величины d, X_min, X_max - пределы, за которыми f(x)=0

То есть характеристика плотности распределения непрерывной случайной величины X f(x) является статистическим ана­логом плотности распределения дискретной случайной величины P(d) = n_i/n.

Для определения вероятности попадания дискретных или непрерывных случайных величин в заданный интервал шкалы X производится соответственно суммирование или интегрирование плотности P(d) или f(x) на этом интервале (см. рис. 1.3).

Интегральной (накопленной) функцией распреде­ленияназывают дискретную или непрерывную функцию = . Фактически функция F(x), задаёт для любого значения х вероятность того, что случайная величина X меньше или равна х: F(x) = P(X< x)

Как и функции плотности (см. рис. 1.3), графики интегральных функций дискретного и непрерывного распределения приведены в сравнении на рис. 1.4. Видно, что максимальное значение интегральной функции F(x) = 1, что выражает 100 % площади фигуры, находящейся под кривой графика плотности распределения (см. рис. 1.3).

Рис. 1.4. Графики интегральных функций дискретного и непрерывного

распределения

С целью наглядного представления роли и взаимодействия плотности и интегральных функций на рис. 1.5 для произвольного непрерывного распределения изображены совместно графики плотности f(x) (вверху) и соответствующей интегральной функции F(x) (внизу). Здесь x₁ и x₂ - границы рассматриваемого интервала какого-либо параметра X, например, размера детали. Тогда по графику f(x) можно судить о частоте попадания параметра X в интервал x₁ - x₂: наглядно видно, что с большей вероятностью параметр X попадает приблизительно в середину интервала, а с меньшей вероятностью - по краям, особенно с левого края. Суммарная вероятность попадания параметра X в интервал x₁ - x₂ выражается заштрихованной площадью на графике f(x), см. рис. 1.5. Но она также равна разности значений интегральной функции F(x₂) - F(x₁), см. нижнюю часть рис. 1.5.

Рис. 1.5. Плотность f(x) и соответствующая интегральная функция F(x) произвольного распределения непрерывной случайной величины