Основные способы алгоритмического сглаживания

Существует только два основных приёма алгоритмического сглаживания:

– укрупнение интервалов –наиболее простой приём. Например, ряд данных о ежедневной производительности можно преобразовать в ряд месячной динамики. Уровни этого ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения. В обоих случаях при таком «укрупнении» показателей мелкие выпады, связанные, например, со снижением производительности по понедельникам, сгладятся, а будет наблюдаться общий тренд снижения или увеличения производительности с возможными «сезонными» колебаниями.

– собственно сглаживание временного ряда различного типа. Суть различных способов такого рода сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены случайным колебаниям. Это способствует более чёткому проявлению тенденции развития.

Сглаживание представляет собой некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Ниже представлены основные способы сглаживания:

1. Метод скользящей средней или простой скользящей средней (в зарубежной литературе – «Окно Даниэля»).Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда (данный интервал часто называют «окном»), затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. То есть сам выбранный интервал («окно») скользит вдоль ряда от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий уровень.

Значение скользящей средней, при условии, что m – нечетное число (обычно рекомендуемое), определяют по формуле:

(3.1)

где – значение скользящей средней i-го уровня;

m – число уровней, входящих в интервал сглаживания («размер окна», который, как правило, берётся нечётным m = 2p+1);

– текущий уровень ряда динамики;

i – порядковый номер уровня.

«Размер окна» определяют, используя следующее правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то его берут по возможности большим; если же нужно сохранить относительно мелкие волны, например, для последующего спектрального анализа – «размер окна» уменьшают. То есть чем больше размер окна, тем более гладкий вид имеет график скользящих средних.

2. Медианное сглаживание – вместо среднего значения, как в предыдущем случае, можно использовать медиану значений, попавших в окно. Основное преимущество медианного сглаживания в сравнении со сглаживанием скользящей средней состоит в том, что результаты сглаживания становятся более устойчивыми к выбросам, имеющимся внутри окна. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов он приводит к более «зубчатым» кривым, чем сглаживание скользящей средней.

3. Методы взвешенной скользящей средней. В методе простой скользящей средней все наблюдения выравниваемого ряда имеют равный «вес». В методах взвешенной скользящей средней эти «веса» различаются, уменьшаясь по мере удаления от текущей координаты. При этом разработано много всевозможных способов назначения такого рода «весов» w_j, иначе (говоря) различных «окон».

3.1 «Окно Тьюки»:

w_j = 0.5 + 0.5*cos(π*j/p) (для j=0 до p) w_-j = w_j (для j ≠ 0);

3.2 «Окно Хемминга»:

w_j = 0.54 + 0.46*cos(π*j/p) (для j=0 до p) w_-j = w_j (для j ≠ 0);

3.3 «Окно Парзена»:

w_j = 1-6*(j/p)² + 6*(j/p)³ (для j = 0 до p/2),

w_j = 2*(1-j/p)³ (для j = p/2 + 1 до p) w_-j = w_j (для j ≠ 0);

3.4 «Окно Бартлетта»:

w_j = 1-(j/p) (для j = 0 до p) w_-j = w_j (для j ≠ 0).

4.Метод экспоненциального сглаживания нашёл наибольшее применение в практике анализа временных рядов.В отличие от метода скользящей средней в определении экспоненциальной средней участвуют все наблюдения исходного временного ряда, но с разными весовыми коэффициентами. Экспоненциальная средняя обладает большей временной устойчивостью по сравнению со скользящей средней. Для экспоненциального сглаживания момент времени, в который наблюдалось значение временного ряда, играет решающую роль. Формула метода экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:

,

где 0< α <1 – коэффициент экспоненциального сглаживания.

Формула рекуррентна, то есть каждый последующий член ряда можно выразить через предыдущий член. Новое теоретическое сглаженное значение вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения () и теоретического сглаженного значения предыдущего периода ().