Общее решение дифференциального уравнения.

Процесс решения многих задач, в том числе задач экономики, приводят к уравнениям, в которых наряду с искомой функцией присутствуют производные этой функции. Например, пусть цена р на товар меняется с течением времени: р = р (t), а спрос q_D и предложение q_s зависят не только от цены товара, но и от скорости изменения этой цены, т.е. q_D = D(p,p'); q_S = S(p,p'). Тогда для определения равновесной цены следует рассмотреть уравнение D(p,p') = S(p,p').

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает аргумент, неизвестную функцию и ее производные. Общий вид такого уравнения:

G (x,y,y',…y⁽ⁿ⁾) = 0

Где G – некоторая функция от n + 2 переменных, n ³ 1, при этом порядок n старшей (наивысшей) производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим дифференциальным уравнением (дифференциальным уравнением первого порядка) является уравнение вида:

y' = f (x, y)

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Интегрирование – простейший пример решения дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение:

у' = 3 х ²

Решение.

Для удобства преобразований изменим символьную запись производной представленную по Лагранжу (y ') в символьную запись по Лейбницу .

Тогда исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов:

Интегрируя, получаем решение – совокупность кривых:

у = х ³ + С,

Каждая из этих функций является решением данного уравнения.

Если принять С = 0, то можно записать, что у=х³ является решениемдифференциального уравнения у' = 3 х².

Этот пример показывает, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.