Уравнения с разделяющимися переменными.

Так называются уравнения вида:

(1)

Правая часть – произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной x или y. Это позволяет легко проинтегрировать уравнение (1) методом разделения переменных.

Пусть функция N (y) ¹ 0, тогда разделив на N (y) уравнение (1) и умножив на dx обе части уравнения, получим:

(1.1)

Правая часть уравнения (1.1) зависит только от x и dx, левая – от y и dy. Переменные разделились. Интегрируя, получим:

– общий интеграл уравнения (1).

Частный интеграл, дающий решение с начальными данными x ₀ и y ₀ можно записать в виде:

Пример: Стоимость продукции (в тыс. руб.) описывается дифференциальным уравнением:

Здесь y (t) – стоимость продукции [ тыс. руб.].

Если принять за единицу временного периода (t) год, то размерность первого слагаемого будет: [ тыс. руб./год ].

Тогда размерность коэффициента a₀ будет [1/ год ].

Это уравнение с разделяющимися переменными:

® .

Интегрируя получим:

.

или

Здесь – постоянная.

Пусть при t = 0 продукция стоила 10 тыс.руб., т.е. y (0) = 10. Тогда при t = 0 и y (0) = 10 находим значение С: y (0) = С ×1= 10. Т.е. С ×= 10.

Получаем: .

Здесь t – постоянная времени, .

Смысл постоянной времени состоит в том, что при t = t стоимость продукции определится как .

Пусть t = t₁ = 1 год. Тогда

Пусть t = t₂ = 2 года. Тогда

Функция уменьшается медленнее при большем значении постоянной времени.