Внесение начального условия в дифференциальное уравнение первого порядка.

.

В уравнениях такого вида коэффициент высшего порядка (в данном случае b ₁) учитывает начальное значение функции y (0).

Запишем уравнение в матричном виде (без доказательства):

.

Раскрывая матричное уравнение получим два уравнения:

· первое уравнение –

· второе уравнение –

Отсюда: .

.

Найдем установившееся значение.

При , поэтому . Отсюда .

Тогда решением этого уравнения будет:

где l – есть корень характеристического уравнения.

Чтобы получить характеристическое уравнение, подставляем в однородное дифференциальное уравнение

.

Получаем . Отсюда

.

Получаем – характеристическое уравнение.

Отсюда l = –a₀. Тогда:

Пример:

Имеем дифференциальное уравнение:

.

Если размерность первого слагаемого , то все слагаемые дифференциального уравнения должны иметь одну и ту же размерность. А это значит, что размерность коэффициентов должна быть:

b ₁=10 тыс.ру б., , .

,

Характеристическое уравнение .

Установившееся значение функции y_уст – есть частное решение заданного уравнения.

А – общее решение однородного дифференциального уравнения (с правой частью равной нулю).