Свойства неопределенного интеграла

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое.

Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается , где f(x) именуется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Если F(x) – некоторая первообразная данной функции, то , где C – произвольная постоянная.

Геометрически это можно интерпретировать как семейство интегральных кривых, каждая из которых является графиком решения (рис.3).

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

Для овладения процессом интегрирования необходимо знать свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

Операции дифференцирования и интегрирования являются взаимообратными (знаки d и ò взаимно уничтожают друг друга с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где a – некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.