Свойства определенного интеграла.

Для лучшего понимания свойств определенного интеграла следует обратить внимание на различие между неопределенным и определенным интегралами. Несмотря на схожесть в обозначении и в терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные математические понятия:

· неопределенный интеграл – представляет собой семейство функций;

· определенный интеграл – есть вполне определенное число.

Вместе с тем свойства определенного интеграла имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей. Например, отрезок [ а, b ] разбит на два участка [ а, с ] и [ с, b ], причем ab = ac + cb, тогда:

Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], где a < b, то найдется такое значение x, принадлежащее отрезку [ а, b ], что

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [ а, b ] и F (x) – первообразная для f (x). Тогда определенный интеграл от функции у = f (х) на отрезке [ а, b ] равен приращению первообразной F (x) на этом отрезке, т.е.

.

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить интеграл:

Решение.

Находим первообразную для подынтегральной функции, затем, используя формулу Ньютона-Лейбница находим приращение первообразной (т.е. разницу значений первообразной при верхнем и нижнем пределах), тогда:

Date: 2016-07-05; view: 314; Нарушение авторских прав