Решение дифференциального уравнения с начальными условиями.

Как уже отмечалось обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y' = f (x, y), а решением дифференциального уравнения является некоторая функция y (x), которая при подстановке в выражение обращает его в тождество. Существует множество решений (так называемых частных решений) дифференциального уравнения, которые могут быть объединены и записаны в виде общего решения y = y (x, C), где С - произвольная постоянная. Геометрически это интерпретировалось как семейство интегральных кривых (см. рис. 2).

Однако, при решении различных задач (в т.ч. и экономических) требуется иметь не общее решение, а конкретное частное решение, т.е. выбрать одну конкретную кривую из найденного семейства интегральных кривых и определить конкретную точку на этой кривой.

Для выбора частного решения уравнения y = y(x,c)) необходимо задать начальные условия

y (x₀) = y₀ ,

то есть задать одну точку на искомой кривой решения.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, соответствующего начальным условиям, называется задачей Коши.

Пример. Решить уравнение , удовлетворяющее начальному условию y (1) = e.

Решение.

1. Запишем уравнение в виде .

2. Разделяем переменные .

3. Проинтегрируем

;

, откуда

4. Находим общее решение:

5. Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределенной постоянной С по начальному условию. Используем начальное условие y (1) = e, (т.е. при х = 1 у = е),подставляем его в общее решение:

, отсюда .

6. Подставляя найденное значение неопределенной постоянной С в правую часть уравнения общего решения, находим частное решение:

.

7. Для наглядности построим график этой функции, используя методические подходы из раздела 1.1. настоящих методических указаний. При качественном подходе для построения графика функции следует, прежде всего, оценить характер ее изменения. В данном случае видно, что полученная функция является экспонентой, которая при х ® –¥ асимптотически приближается к оси абсцисс, а при х ® +¥ у также стремится к бесконечности. При построении графика находим его характерные точки, задаваясь значением х: при х = 0, у = 1, при х = 1, у = е» 2,718 (рис.5).