Решение экономических задач с использованием дифференциального уравнения второго порядка 1 page

Пример. Изменение стоимости продукции x (t) в тыс.руб. описывается дифференциальным уравнением:

.

Требуется:

- Записать размерность остальных коэффициентов: b ₀, a ₁, a ₀.

- Записать x (0) и рассчитать и x _уст. По этим значениям построить качественно график функции.

- Найти экстремум функции (если он имеется).

- Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц.

- Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции x (t) за один год.

Решение.

Заданное уравнение содержит всю необходимую информацию для его решения, т.к. начальные условия x (0) и могут быть рассчитаны по коэффициентам a и b.

Для начальных значений уравнение в матричной форме имеет вид:

.

Раскрывая это уравнение получим:

Из первого уравнения x (0) = b ₂ .

Из второго уравнения .

Третье уравнение перепишем с убыванием порядка производной

Сравнив третье уравнение с заданным, видно, что оно есть ни что иное, как заданное уравнение при t = 0

Для того чтобы записать вид решения, найдем корни характеристического уравнения. Необходимое для этого характеристическое уравнение получаем путем подстановки общего решения однородного дифференциального уравнения (см. предыдущий пример) в однородное дифференциальное уравнение

Получаем: .

Отсюда и учитывая, что получаем характеристическое уравнение:

.

Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем:

,

Решая полученное уравнение, находим его корни:

Корни действительные. Поэтому вид решения дифференциального уравнения будет

,

что соответствует апериодическому процессу.

Найдя х_уст и коэффициенты интегрирования k ₁ и k ₂ , будем знать решение.

Теперь можно построить качественно график x (t). Для качественного построения графика необходимо знать x (0), x' (0), х_уст и закон изменения x (t) (апериодический). Найдем:

x (0) = b ₂ = 10 тыс.руб. (см. заданную размерность).

Все слагаемые в дифференциальном уравнении должны иметь одну и ту же размерность, поэтому с учетом размерности коэффициентов:

– имеет размерность ,

– также имеет размерность ,

а так как имеет размерность , то коэффициент а ₁ должен иметь

размерность , таким образом .

Аналогично рассуждая запишем размерности остальных коэффициентов.

; b ₂ = 10 тыс.руб., , .

Тогда из второго уравнения

Строим график качественно.

Для нахождения коэффициентов k ₁ и k ₂ необходимо иметь два уравнения. Одно нам уже известно: . Второе – получаем дифференцируя x (t):

Запишем два уравнения при t = 0 (начальные условия):

Перепишем их, подставив соответствующие значения:

Итак:

Складывая, получаем: k ₂ – 2 k ₂ = 17, отсюда:

k ₂ = –17 тыс.руб., k ₁ = 7 – k ₂ = 24 тыс.руб.

Решение запишем:

Найдем значение t (0), при котором имеем x_max

, ;

Один месяц составляет от года [ года ], т.е. больше, чем найденное . Временной шаг при построении графика должен быть меньше t ₀, поэтому следует строить график по одной неделе, принимая, что в месяце 4 недели.

Исходя из этого будем присваивать t следующие значения:

– за одну неделю,

– за две недели,

– за месяц.

Затем находим точки через каждый месяц и т.д.

Максимум существует при t = t ₀ = 0,07.

= 3 + 24×0,705 – 17×0,497 = 3 + 16,91 + 8,44 = 11,47.

Итак x (t₀) = x_max = 11,47

Данные расчетов сводим в таблицу

t				t 0
x (t)		10,822	11,278	11,471	11,434	10,225

По данным таблицы строим количественно график изменения стоимости продукции (рис. 9).

	Рис. 9.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

1. Теорема Ферма и ее геометрический смысл.

2. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.

3. Теорема Лагранжа, ее механический и геометрический смысл.

4. Порядок исследования функций.

5. Теоремы о возрастания и убывания функций.

6. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.

7. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

8. Определение выпуклости функции и точек перегиба. Асимптота графика функции.

9. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

10. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл.

11. Метод замены переменной при решении неопределенного интеграла.

12. Метод интегрирования по частям при решении неопределенного интеграла.

13. Интегрирование рациональных дробей.

14. Интегрирование тригонометрических функций.

15. Интегральная сумма и ее геометрический смысл.

16. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.

17. Свойства определенного интеграла.

18. Особенность применения метода замены переменной при решении определенного интеграла.

19. Особенность применения метода интегрирования по частям при решении определенного интеграла.

20. Геометрические приложения определенного интеграла.

21. Несобственные интегралы. Схождение несобственных интегралов.

22. Методика приближенного вычисления определенного интеграла.

23. Двойные и тройные интегралы, их геометрический смысл, основные свойства и правила вычисления.

24. Использование определенного интеграла в экономике.

25. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения.

26. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и геометрический смысл.

27. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.

28. Виды дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения).

29. Дифференциальные уравнения второго порядка. Методика понижения порядка дифференциального уравнения.

30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, особенности их решения.

31. Использование дифференциальных уравнений при решении экономических задач.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Индивидуальные контрольные задания
по вариантам

Вариант №1.

1. Исследовать функции и построить графики

1.1. ;

1.2. ;

1.3. .

2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке:

2.1 на отр.[-1, 3];

2.2. на отр.[1, 4].

3. Доказать равенство:

3.1 ;

3.2. .

4. Найти интегралы:
4.1. ;
4.2. ;
4.3. ;
4.4. ;
4.5.
4.6. ;
4.7. ;
4.8. .

4. Вычислить определенные интегралы:
5.1. ;
5.2. ;
5.3. .

6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения:

, ®.

7. Решить задачу Коши: , при .

8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.

, при .

9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:

.

Размерность коэффициентов b ₂ = 8 (тыс. руб.), b ₁ = 150 (тыс. руб./год).

Требуется:

1) Записать размерность коэффициентов: b ₀, a ₁, a ₀.

2) Записать y (0) и рассчитать и y _уст. По этим значениям построить качественно график функции.

3) Найти экстремум функции (если он имеется).

4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год.

Вариант №2.

1. Исследовать функции и построить графики

1.1. ;

1.2. ;

1.3. .

2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке:

2.1. на отр. [0, 3];

2.2. на отр. [1, 4].

3. Доказать равенство:

3.1. ;

3.2. .

4. Найти интегралы:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. .

5. Вычислить определенные интегралы:

5.1. ;
5.2. ;
5.3. .

6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения:

, ®.

7. Решить задачу Коши: , при .

8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.

, при .

9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:

.

Размерность коэффициентов b ₂ = 3 (тыс. руб.), b ₁ = 6 (тыс. руб./год).

Требуется:

1) Записать размерность коэффициентов: b ₀, a ₁, a ₀.

2) Записать y (0) и рассчитать и y _уст. По этим значениям построить качественно график функции.

3) Найти экстремум функции (если он имеется).

4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год.

Вариант №3.

1. Исследовать функции и построить графики

1.1. ;

1.2. ;

1.3. .

2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке:

2.1. на отр.[0, 3];

2.2. на отр.[1, 4].

3. Доказать равенство:

3.1. ;

3.2. .

4. Найти интегралы:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. .

5. Вычислить определенные интегралы:

5.1. ;

5.2. ;

5.3. .

6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения:

, ®.

7. Решить задачу Коши: , при .

8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.

, при .

9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:

.

Размерность коэффициентов b ₂ = 4 (тыс. руб.)., b ₁ = 27 (тыс. руб./год).

Требуется:

1) Записать размерность коэффициентов: b ₀, a ₁, a ₀.

2) Записать y (0) и рассчитать и y _уст. По этим значениям построить качественно график функции.

3) Найти экстремум функции (если он имеется).

4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год.

Вариант №4.

1. Исследовать функции и построить графики

1.1. ;

1.2. ;

1.3. .

2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке:

2.1. на отр.[0, 3];

2.2. на отр.[1, 4].

3. Доказать равенство:

3.1. ;

3.2. .

4. Найти интегралы:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. .

5. Вычислить определенные интегралы:

5.1. ;

5.2.

5.3. .

6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения:

, ®.

7. Решить задачу Коши: , при .

8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.

, при .

9. Изменение стоимости продукции (в тыс.руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:

.

Размерность коэффициентов b ₂ = 9 (тыс. руб.), b ₁ = 133 (тыс. руб./год).

Требуется:

1) Записать размерность коэффициентов: b ₀, a ₁, a ₀.

2) Записать y (0) и рассчитать и y _уст. По этим значениям построить качественно график функции.

3) Найти экстремум функции (если он имеется).

4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год.

Вариант №5.

1. Исследовать функции и построить графики

1.1. ;

1.2. ;

1.3. .

2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке:

2.1. на отр.[0, 3];

2.2. на отр.[1, 4].

3. Доказать равенство:

3.1. ;

3.2. .

4. Найти интегралы:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. .