![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Решение экономических задач с использованием дифференциального уравнения второго порядка 1 page
Пример. Изменение стоимости продукции x (t) в тыс.руб. описывается дифференциальным уравнением:
Требуется: - Записать размерность остальных коэффициентов: b 0, a 1, a 0. - Записать x (0) и рассчитать - Найти экстремум функции (если он имеется). - Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. - Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции x (t) за один год.
Решение. Заданное уравнение содержит всю необходимую информацию для его решения, т.к. начальные условия x (0) и Для начальных значений уравнение в матричной форме имеет вид:
Раскрывая это уравнение получим: Из первого уравнения x (0) = b 2 . Из второго уравнения Третье уравнение перепишем с убыванием порядка производной Сравнив третье уравнение с заданным, видно, что оно есть ни что иное, как заданное уравнение при t = 0 Для того чтобы записать вид решения, найдем корни характеристического уравнения. Необходимое для этого характеристическое уравнение получаем путем подстановки общего решения однородного дифференциального уравнения Получаем: Отсюда
Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем:
Решая полученное уравнение, находим его корни: Корни действительные. Поэтому вид решения дифференциального уравнения будет
что соответствует апериодическому процессу. Найдя хуст и коэффициенты интегрирования k 1 и k 2 , будем знать решение. Теперь можно построить качественно график x (t). Для качественного построения графика необходимо знать x (0), x' (0), хуст и закон изменения x (t) (апериодический). Найдем: x (0) = b 2 = 10 тыс.руб. (см. заданную размерность). Все слагаемые в дифференциальном уравнении должны иметь одну и ту же размерность, поэтому с учетом размерности коэффициентов:
а так как размерность Аналогично рассуждая запишем размерности остальных коэффициентов.
Тогда из второго уравнения
Строим график качественно.
Кривая начинается при x (0) = 10, с положительной производной x' (0) > 0 (следовательно, функция должна иметь максимум) и стремится к хуст = 3 по апериодическому закону (рис.8). Для нахождения коэффициентов k 1 и k 2 необходимо иметь два уравнения. Одно нам уже известно: Запишем два уравнения при t = 0 (начальные условия): Перепишем их, подставив соответствующие значения: Итак:
Складывая, получаем: k 2 – 2 k 2 = 17, отсюда: k 2 = –17 тыс.руб., k 1 = 7 – k 2 = 24 тыс.руб. Решение запишем: Найдем значение t (0), при котором имеем xmax
Один месяц составляет от года Исходя из этого будем присваивать t следующие значения:
Затем находим точки через каждый месяц Максимум существует при t = t 0 = 0,07. = 3 + 24×0,705 – 17×0,497 = 3 + 16,91 + 8,44 = 11,47. Итак x (t0) = xmax = 11,47 Данные расчетов сводим в таблицу
По данным таблицы строим количественно график изменения стоимости продукции (рис. 9).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ 1. Теорема Ферма и ее геометрический смысл. 2. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. 3. Теорема Лагранжа, ее механический и геометрический смысл. 4. Порядок исследования функций. 5. Теоремы о возрастания и убывания функций. 6. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции. 7. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. 8. Определение выпуклости функции и точек перегиба. Асимптота графика функции. 9. Дифференциал функции и его геометрический смысл. 10. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. 11. Метод замены переменной при решении неопределенного интеграла. 12. Метод интегрирования по частям при решении неопределенного интеграла. 13. Интегрирование рациональных дробей. 14. Интегрирование тригонометрических функций. 15. Интегральная сумма и ее геометрический смысл. 16. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл. 17. Свойства определенного интеграла. 18. Особенность применения метода замены переменной при решении определенного интеграла. 19. Особенность применения метода интегрирования по частям при решении определенного интеграла. 20. Геометрические приложения определенного интеграла. 21. Несобственные интегралы. Схождение несобственных интегралов. 22. Методика приближенного вычисления определенного интеграла. 23. Двойные и тройные интегралы, их геометрический смысл, основные свойства и правила вычисления. 24. Использование определенного интеграла в экономике. 25. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения. 26. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и геометрический смысл. 27. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. 28. Виды дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения). 29. Дифференциальные уравнения второго порядка. Методика понижения порядка дифференциального уравнения. 30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, особенности их решения. 31. Использование дифференциальных уравнений при решении экономических задач.
ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Индивидуальные контрольные задания Вариант №1. 1. Исследовать функции и построить графики 1.1. 1.2. 1.3. 2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке: 2.1 2.2. 3. Доказать равенство: 3.1 3.2. 4. Найти интегралы: 4. Вычислить определенные интегралы: 6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения: , ®. 7. Решить задачу Коши: 8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.
9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:
Размерность коэффициентов b 2 = 8 (тыс. руб.), b 1 = 150 (тыс. руб./год). Требуется: 1) Записать размерность коэффициентов: b 0, a 1, a 0. 2) Записать y (0) и рассчитать 3) Найти экстремум функции (если он имеется). 4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год. Вариант №2. 1. Исследовать функции и построить графики 1.1. 1.2. 1.3. 2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке: 2.1. 2.2. 3. Доказать равенство: 3.1. 3.2. 4. Найти интегралы: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 5. Вычислить определенные интегралы: 5.1. 6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения: , ®. 7. Решить задачу Коши: 8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.
9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:
Размерность коэффициентов b 2 = 3 (тыс. руб.), b 1 = 6 (тыс. руб./год). Требуется: 1) Записать размерность коэффициентов: b 0, a 1, a 0. 2) Записать y (0) и рассчитать 3) Найти экстремум функции (если он имеется). 4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год. Вариант №3. 1. Исследовать функции и построить графики 1.1. 1.2. 1.3. 2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке: 2.1. 2.2. 3. Доказать равенство: 3.1. 3.2. 4. Найти интегралы: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 5. Вычислить определенные интегралы: 5.1. 5.2. 5.3. 6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения: , ®. 7. Решить задачу Коши: 8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.
9. Изменение стоимости продукции (в тыс. руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:
Размерность коэффициентов b 2 = 4 (тыс. руб.)., b 1 = 27 (тыс. руб./год). Требуется: 1) Записать размерность коэффициентов: b 0, a 1, a 0. 2) Записать y (0) и рассчитать 3) Найти экстремум функции (если он имеется). 4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год.
Вариант №4. 1. Исследовать функции и построить графики 1.1. 1.2. 1.3. 2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке: 2.1. 2.2. 3. Доказать равенство: 3.1. 3.2. 4. Найти интегралы: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 5. Вычислить определенные интегралы: 5.1. 5.2. 5.3. 6. Проверить, является ли заданная функция y=f(x) решением данного дифференциального уравнения: , ®. 7. Решить задачу Коши: 8. Найти решение дифференциального уравнения и построить график. Внести начальное условие в правую часть дифференциального уравнения. Записать это уравнение.
9. Изменение стоимости продукции (в тыс.руб.) описывается заданным дифференциальным уравнением:
Размерность коэффициентов b 2 = 9 (тыс. руб.), b 1 = 133 (тыс. руб./год). Требуется: 1) Записать размерность коэффициентов: b 0, a 1, a 0. 2) Записать y (0) и рассчитать 3) Найти экстремум функции (если он имеется). 4) Выбрать правильно временной шаг – неделя, две недели, месяц. Составить таблицу и построить график изменения стоимости продукции y (t) за один год. Вариант №5. 1. Исследовать функции и построить графики 1.1. 1.2. 1.3. 2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке: 2.1. 2.2. 3. Доказать равенство: 3.1. 3.2. 4. Найти интегралы: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. Date: 2016-07-05; view: 950; Нарушение авторских прав |