![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Приложения криволинейных интегралов.
1. Площадь области D, ограниченной замкнутым контуром L, находится по формуле:
![]() где направление обхода контура L выбрано так, что область D остается все время слева от пути интегрирования. 2. Пусть L есть плоская кривая с линейной плотностью массы m(x, y), а) масса m кривой L вычисляется по формуле
б) координаты центра тяжести кривой L вычисляются по формулам:
![]() ![]() в) моменты инерции Ix, Iy и I0 соответственно относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:
3. Пусть Тогда
![]()
Пример 19. Найти массу тонкого стержня, имеющего форму линии x2 + y2 = 1, y > 0, если его линейная плотность в точке M(x, y) равна m(x, y) = 1 + (1/2)y. В данном случае линия L есть верхняя половина единичной окружности, которую легко задать параметрически: x = cost, y = sint, 0 < t < p. Поэтому, воспользовавшись формулой (25), получим: Ответ: m = p + 1. Пример 20. Вычислить момент инерции пружины, состоящей из n витков, относительно ее оси (предполагается, что пружина изготовлена из однородного материала).
где m(x, y) – линейная плотность пружины.
Ответ: Пример 21. Найти работу силы Как известно, работа силы (силового поля) может быть вычислена как интеграл второго рода. Формула (28) для пространственного случая: Воспользовавшись известными параметрическими уравнениями прямой, запишем уравнения линии, по которой перемещается точка приложения силы:
В силу условия, tнач = 0, tкон = 1. Тогда Пример 22. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = acos3t,
где KD – граница области D, проходимая так, чтобы область оставалась слева. Воспользовавшись этой формулой, получим: Пример 23. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом x = acost, y = bsint. Из формулы (24) следует, что Пример 24. Найти массу четверти эллипса x = cost, z = 2sint, расположенной в первом квадранте плоскости xOz, если линейная плотность массы m = z. Из формулы (25) следует, что Из уравнения кривой L находим: Очевидно, что параметр t меняется от 0 до p/2. Тогда Положив cost = u, получим:
Пример 25. Найти координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды В силу симметрии кривой относительно прямой x = ap получаем х0 = p. Найдем теперь m, а затем y0. Из уравнения циклоиды находим, что Пример 26. Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти однородной окружности y = 2cost, z = 2sint, лежащей в первом квадранте плоскости yOz. В силу одинакового расположения кривой по отношению к координатным осям Iy = Iz. По формулам (27) получаем:
Пример 27. Вычислить работу силы Из формулы (28) следует, что Так как мы интегрируем по прямой z = y и при перемещении из точки О в точку А y меняется от 0 до 1, получаем: Date: 2016-07-22; view: 3295; Нарушение авторских прав |