Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) – КИПР.

Пусть в пространстве Oxyz задана непрерывная спрямляемая кривая АВ, в точках которой определена произвольная функция f(x, y, z). Проделаем 5 операций:

1. Разобьем кривую АВ на n частей точками М₁, М₂, ….М_n-1, следующими друг за другом в направлении от А к В (для определенности). Точку А обозначим через М₀, точку В через М_n. Длины дуг М_k-1 М_k (k = 1, 2,…, n) обозначим, соответственно, через . Наибольшую из величин
(k = 1, …, n) обозначим через и назовем рангом (шагом) дробления кривой АВ.

2. На каждой дуге М_k-1 М_k (k = 1, 2, …, n) выберем произвольным образом по точке N_k(x_k; y_k; z_k) и вычислим в них значения функции
f(x, y, z), т.е. найдем числа f(x_k, y_k, z_k).

3. Вычислим произведения f(x_k, y_k, z_k) (k = 1, 2, …, n).

4. Найдем сумму которую называют интегральной суммой для функции f(x, y, z) на кривой АВ, отвечающей данному разбиению (дроблению) АВ на части и выбору точек N_k (x_k; y_k; z_k).

5. Измельчая дробление, ищем предел

Если существует конечный предел (1), не зависящий ни от способа дробления кривой АВ на части, ни от выбора точек N_k(x_k; y_k; z_k) (k = 1, 2, …, n), то этот предел называют криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x, y, z) по дуге АВ и обозначают символом:

При этом функцию f(x, y, z) называют подынтегральной функцией, кривую АВ – линией (кривой, контуром) интегрирования, точку А – начальной, а точку В – конечной точками интегрирования (тем самым устанавливается направление интегрирования).

Таким образом, по определению

Перечислим простейшие свойства криволинейного интеграла первого рода (в основном аналогичные свойствам определенного интеграла):

1. Значение криволинейного интеграла первого рода не зависит от направления на кривой:

2. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак криволинейного интеграла:

3. Криволинейный интеграл первого рода от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

4. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям:

5. Если в каждой точке кривой АВ функции f(x, y, z) и j(x, y, z) удовлетворяют неравенству f(x, y, z) < j(x, y, z), то

6. Имеет место неравенство:

7. Если f(x, y, z) = 1 на кривой АВ, то где L – длина кривой АВ.

8. (Теорема о среднем). Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ то на этой кривой найдется хотя бы одна такая точка , что будет иметь место равенство: где L – длина кривой АВ.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов.

x = j(t), y = y(t), z = c(t), a < t < b,

где j(t), y(t), c(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем, точкам А и В отвечают, соответственно, значения параметра t = a и t = b.

Установим на кривой АВ направление интегрирования от точки А к точке В.

Тогда формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода для случая, когда функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, имеет вид:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода по кривой АВ следует: используя параметрические уравнения (*) кривой АВ, заменить у подынтегральной функции координаты x, y, z соответственно функциями j(t), y(t), c(t); заменить d дифференциалом дуги как функции параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t в пределах от a до b.

x = j(t), y = y(t), a < t < b,

y = f(x), a < x < b,

где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], то, принимая х за параметр, можно как частный случай формулы (4) получить формулу:

Если кривая задана уравнением x = j(y), где c < y < d, то

Если кривая задана уравнением r = r(j) (j₁ < j < j₂), то , а

Если различные участки контура интегрирования заданы различными уравнениями, то нужно разбить контур интегрирования на соответствующие части и весь интеграл вычислять как сумму интегралов, взятых по этим частям.

Пример 1.

Вычислить , где L – отрезок прямой, соединяющий точки О(0;0) и А(1;2).

Запишем уравнение прямой L: y = 2x (явное задание). Для данной линии При движении от О к А х меняется от 0 до 1. По формуле (5) имеем:

Пример 2.

Вычислить , где L – контур окружности y² + z² = ay (a > 0).

Введем полярные координаты: y = rcosj, z = rsinj .

Уравнение окружности принимает вид: r² = arcosj или r = acosj.

Тогда r’ = -asinj и

Т. к. окружность расположена в той части плоскости yOz, где y > 0, то угол j меняется от -p/2 до p/2. По формуле (7) имеем:

Пример 3.

Вычислить , где L – дуга кривой, заданной параметрически:
x = tcost, y = tsint, z = t (0 < t < 2p).

Так как и по формуле (3) имеем:

Пример 4.

Вычислить , где L – дуга параболы y = x², 0 < x < 1.

Так как линия L задана явно, воспользуемся формулой (5):

Пример 5.

В случае, когда L – пространственная кривая, наиболее простой способ вычисления криволинейного интеграла I рода состоит в использовании параметрического задания кривой. В этом случае вычислительная формула будет естественным обобщением аналогичной формулы для плоской кривой, т.е. это будет формула (3). Параметрические уравнения линии L (рис. 1): , z = Rsint, 0 < t < p/2.

Поэтому

Пример 6.

Найти длину дуги линии x³ = 3a²y, 2xz = a², заключенной между плоскостями y = 9a,
y = a/3.

Длину дуги L можно записать в виде: .

Приняв за параметр координату х, уравнения данной линии можно представить в параметрическом виде: x = t, y = t³/3a², z = a²/2t. Значения параметра, соответствующие концам рассматриваемой дуги, вычисляются по формуле: Таким образом,
t₁ = a, t₂ = 3a.

Ответ: S = 9a.