![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Криволинейные интегралы второго рода (по координатам) – КИВР.
Пусть в пространстве Oxyz задана непрерывная кривая АВ, в точках которой определена произвольная функция P(x, y, z). Проделаем 5 операций: 1. Разобьем кривую АВ на n частей точками М0, М1,…,Мn, следующими друг за другом в направлении от А к В (здесь точки М0, Мn означают, соответственно, А и В). Координаты точек Мk (k = 1, 2, …, n) обозначим через xk, yk, zk, а наибольшую из длин дуг Мk-1 Мk обозначим через l. 2. На каждой дуге Мk-1 Мk (k = 1, 2, …, n) выберем произвольным образом по точке Nk( 3. Вычислим произведения Р( 4. Найдем сумму 5. Измельчая дробление, ищем предел
![]() ![]() ![]() ![]() Если существует конечный предел (8), не зависящий ни от способа дробления кривой АВ на части, ни от выбора точек Nk(
![]() Если на кривой АВ заданы функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), то аналогичным образом можно определить криволинейные интегралы по кривой АВ в направлении от А к В по переменным y и z, соответственно, от функций Q(x, y, z) и R(x, y, z):
![]()
![]() Сумму криволинейных интегралов (9), (10), (11) называют криволинейным интегралом второго рода по кривой АВ в направлении от А к В и обозначают:
![]() Рассмотрим основные свойства криволинейных интегралов вида (9) (криволинейные интегралы вида (10), (11), (12) обладают аналогичными свойствами), предполагая существующими все ниже встречающиеся интегралы. 1. При изменении направления на кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак на обратный: 2. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак криволинейного интеграла: 3. Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций: 4. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям: 5. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
При отсутствии дополнительных указаний о направлении обхода плоского контура L обычно принимают положительное направление. В заключение общих положений приведем формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Пусть АВ – направленная пространственная кривая с началом в точке А и с концом в точке В. Будем касательной, проведенной в любой точке кривой АВ, присваивать направление, совпадающее с направлением кривой АВ. Обозначим через a, b, g углы, которые образует положительное направление касательной в любой точке АВ, соответственно, с осями Ox, Oy, Oz. В этом случае имеют место равенства:
![]() ![]() ![]() Заметим, что если изменить направление кривой, то не только интеграл слева изменит знак, но и интеграл справа тоже изменит знак, т.к. изменение направления касательной изменит углы a, b, g на + p. Вычисление криволинейных интегралов второго рода сводится к вычислению определенных интегралов. Специфика вычисления определяется, как и ранее, способом задания кривой интегрирования. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями
где j(t), y(t), c(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t. Предположим, что точке А соответствует значение параметра t =a, точке В соответствует
![]()
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла второго рода по кривой АВ в направлении от А к В следует: используя параметрические уравнения (14) кривой АВ, заменить под знаком интеграла переменные x, y, z, а также их дифференциалы dx, dy, dz через параметр t, а затем вычислить от полученного выражения определенный интеграл по переменной t в пределах от a доb.
x = j(t), y = y(t), a < t < b, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны на АВ, то формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода по кривой АВ имеет вид:
![]()
y = f(x), a < x < b, где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], то, принимая х за параметр, как частный случай формулы (17) получим формулу:
![]() где а = хнач, в = хкон. Если различные участки контура заданы различными уравнениями, то нужно разбить контур интегрирования на соответствующие части и весь интеграл вычислять как сумму интегралов, взятых по этим частям. При работе с интегралом второго рода особо следует помнить, что на линии, по которой он вычисляется, должно быть выбрано одно из двух возможных направлений. Пример 7.
Вычислить интеграл Имеем случай явного задания плоской кривой уравнением у = у(х), поэтому данный интеграл второго рода может быть вычислен как определенный интеграл по формуле (19):
где хнач и хкон – абсциссы начальной и конечной точек. Таким образом, имеем:
Вычислить
![]() И тогда Пример 9. Вычислить
Пример 10. Вычислить Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид:
При передвижении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (15) имеем:
Date: 2016-07-22; view: 632; Нарушение авторских прав |