Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Приложения тройного интеграла.





А. Вычисление объемов.

(12)
Объем пространственного тела Т находится по формуле:

(см. первое свойство тройного интеграла)

В цилиндрических и сферических координатах соответственно имеем:

(13) (14)

 

 

Пример 7.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2, x = 0, y = 0, z = 1, z = 2 и расположенного в первом октанте.

Для вычисления тройного интеграла, задающего объем данного тела, воспользуемся цилиндрическими координатами:

 

 
 

 


Отметим, что z = x2 + y2 – параболоид вращения, сечение которого плоскостями z = const – окружности, имеющие радиус . Поэтому данное тело имеет указанный на рис. 8 вид. Для точек тела угол j меняется в пределах от 0 до p/2. При каждом фиксированном j r меняется от 0 до – радиуса верхнего основания тела (рис. 9). Так как нижняя граница изменения z задается по-разному на разных участках: при 0 < r < 1, 1 < z < 2, а при 1 < r < , x2 + y2 = r2 < z < 2 то интеграл разобьется на два:

Пример 8.

Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами z = 4-y2 и z = y2 + 2 и плоскостями x = -1, x = 2.

Тело, объем которого находим (рис. 10), ограничено снизу цилиндром z = y2 + 2, а сверху – цилиндром
z = 4-y2.

Оно проектируется в область D плоскости xOy, ограниченную прямыми x = -1, x = 2, y = 1 и y = -1.

 
Два последних уравнения получены в результате исключения z из уравнений цилиндров.

С учетом симметрии области V относительно плоскости xOz, имеем:

 

 

 

Пример 9.

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом x = 6-z2-y2 и конусом
x2 = y2 + z2 (x > 0).

 

y = rcosj, z = rsinj, x = x.

С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и xOy и что уравнения окружности, ограничивающей область D, конуса и параболоида, соответственно, принимают вид r = 2, x = r и х = 6-r2, имеем:

Date: 2016-07-22; view: 557; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...

mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию