C. Вычисление площади поверхности

Пусть поверхность s, заданная уравнением z = f(x, y), проектируется на плоскость xOy в область D (см. рис. 1). Тогда ее площадь S находят по формуле:

Пример 24.

Найти часть поверхности параболоида вращения z = x² +y², вырезанной плоскостями x = 0, y = 0 и z = 2 (x ³ 0, y ³ 0).

	Для вычисления площади части поверхности, заданной явным уравнением z = f(x, y), используем формулу (17):

где D – проекция рассматриваемой части поверхности на плоскость О_ху.

В данной задаче D есть четверть круга, изображенная на рис. 25,26. Так как по условию задачи z = x² +y², то z’_x = 2x, z’_y = 2y и 1 + (z’_x)² + (z’_y)² = 1 + 4(x² + y²).

Введя полярные координаты, получим:

Пример 25.

Вычислить площадь части поверхности цилиндра z² = 4x, лежащей в I октанте, вырезанной цилиндром y² = 4x и плоскостью x = 1.

Из урав нения поверхности z² = 4x для первого октанта имеем:

и

Область D (рис. 27) есть параболический сегмент, ограниченный в плоскости xOy параболой y² = 4x, или и прямой x = 1. Тогда

х=1

0 1 х

Пример 26.

Вычислить площадь части поверхности параболоида 2y = x² + z², вырезанной цилиндром x² + z² =1.

В этой задаче поверхность однозначно проектируется только на плоскость xOz. Поэтому ее площадь будем вычислять по формуле:

Из уравнения параболоида находим:

откуда