Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

u = u(x,y), v = v(x,y) –

x = x(u,v), y = y(u,v).

Тогда каждой точке М(x;y) из области D_xy будет взаимно однозначно соответствовать пара чисел (u,v), называемых криволинейными координатами этой точки. Если область D_xy расположена в той части плоскости xOy, в которой введены криволинейные координаты u, v, то справедлива следующая формула:

где D_uv – область изменения криволинейных координат u и v, отвечающая области D_xy, а I(u,v) – якобиан преобразования (8):

Например, для полярных координат имеем:

В зависимости от строения области интегрирования или подынтегральной функции вычисление двойного интеграла может оказаться более простым не в прямоугольной, а в какой-нибудь из криволинейных систем координат. Наиболее распространенной из них является полярная.

Для того, чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно x и y в подынтегральной функции заменить соответственно через rcosj и rsinj, а выражение dxdy заменить выражением rdrdj:

где D_rj – та же область D_ху, но описанная в полярных координатах (поскольку в этом случае якобиан I = r).

В этой формуле следует обратить внимание на то, что в подынтегральной функции не только происходит замена координат по формулам перехода от декартовых к полярным, но и появляется дополнительный множитель r.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат, также как и в декартовой, сводится к двукратному интегрированию, но, соответственно, по переменным r и j. Расстановку пределов при вычислении интегралов в полярных координатах можно производить, используя чертеж области интегрирования на плоскости Oxy и геометрический смысл полярных координат.

Пусть, например, внешнее интегрирование производится по j и область D_ρφ является правильной в направлении j = сonst, т.е. каждый луч, выходящий из начала координат, пересекает область D_ρφ по отрезку
(рис. 14).

Тогда справедлива формула:

(12)

В частном случае, когда D содержит начало координат, имеем:

Если же внешнее интегрирование производится по r и область D_ρφ является правильной в направлении
r = const, т.е. каждая окружность пересекает, имея центром начало координат, область D_ρφ по дуге этой окружности (только в двух точках) (см. рис.16), то справедлива формула:

Пример 12.

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: x² + y² = 1, y = 0, x = 2, y = x и лежащей в первом квадранте.

Хотя данный интеграл можно вычислить в прямоугольной декартовой системе координат, в которой он задан, но неопределенные интегралы, которые при этом возникнут, достаточно сложны.

Перейдем к полярной системе координат. Вспомним, что . Построив область интегрирования (рис. 17), мы видим, что для точек области полярный угол меняется в пределах от 0 до p/4, а при каждом значении j из этого промежутка полярный радиус меняется от 1 до 2/cosj (последнее мы получим, подставив в уравнение х = 2 выражение для х через полярные координаты: rcosj = 2 и разрешив полученное соотношение относительно r).

Таким образом, искомый интеграл можно представить в виде:

Пример 13.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью x² + y² = 1.

Область D есть круг радиуса 1 с центром в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах x² + y² = r² и уравнение окружности принимает вид r = 1.

Тогда по формуле (13) получаем:

Пример 14.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена половиной дуги окружности x² + z² = ax и отрезком оси Ox от точки с абсциссой равной 0 до точки с абсциссой равной а.

Область D – полукруг. Введем полярные координаты: x = rcosj, z = rsinj.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид r² = racosj, или r = acosj.

Подынтегральная функция имеет вид z = rsinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (полукруг находится в I четверти). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 0 (в начале координат) до r = acosj (на окружности). Тогда получаем:

Пример 15.

В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D является квадратом с вершинами в точках О(0;0), А(1;0), В(1;1), С(0;1).

Уравнение стороны АВ (х = 1) в полярных координатах принимает вид rcosj = 1, или r = 1/cosj, а ВС будет r = 1/sinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (квадрат находится в I четверти). При изменении угла от 0 до p/4 r меняется от 0 до r = 1/cosj, а при изменении угла от p/4 до p/2 r меняется от 0до r = 1/sinj.

Следовательно,

Пример 16.

Вычислить двойной интеграл если область D ограничена эллипсом

Для решения этой задачи удобно ввести так называемые обобщенные полярные координаты, положив y = arcosj, z = brsinj.

Найдем якобиан данного преобразования:

т.е. | I |= abr.

Подынтегральная функция принимает вид:

Теперь имеем:

Угол j меняется от 0 до 2p. Уравнение эллипса принимает вид r = 1, поэтому r меняется от 0 до 1. И тогда