Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Приложения двойного интеграла





А. Вычисление площадей плоских областей.

Площадь S плоской области D на плоскости xOy вычисляется по формуле (см. первое свойство двойного интеграла)

.

Пример 17.

Вычислить площадь плоской области D, ограниченной прямой y = 2 и параболой y = x2 - 1.

Область D (рис. 18) можно проектировать и на ось Ох, и на ось Oy. Спроектируем ее на ось Oy. Область D симметрична относительно оси Oy, поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области D и результат удвоить.

 
 
y  


Правая половина области D проектируется на ось Oy в отрезок [-1; 2] и имеет левой границей прямую х = 0, а правой – линию y = x2 –1, или .

В результате

откуда .

Пример 18.

φ= π/4
Вычислить площадь плоской области D (рис. 19), ограниченной прямыми
z = 0, z = x и окружностью x2 + z2 = 2x.

Рис. 19  
Введем полярные координаты x = rcosj, z = rsinj. Уравнение окружности, ограничивающей область D, примет вид
r2 = 2rcosj, или r = 2cosj.

Угол j меняется от 0 до p/4, а r меняется от 0 до 2cosj. Тогда получаем:

Пример 19.

2 + z2) 2 = 2ax3.

Введем полярные координаты: x = rcosj, z = rsinj. Уравнение кривой примет вид
r4 = 2ar3cos3j, или r = 2acos3j.

Область D (рис.20) симметрична относительно оси Ox, поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить. Для верхней половины области D угол j меняется от 0 до p/2, а r меняется от 0 до 2acos3j.

z

 

 

0 2a x

 

Рис. 20

 

Поэтому имеем:

откуда S = 5pa2/8.

Date: 2016-07-22; view: 582; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...

mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию