Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Приложения двойного интеграла
|
|
А. Вычисление площадей плоских областей.
Площадь S плоской области D на плоскости xOy вычисляется по формуле (см. первое свойство двойного интеграла)
.
Пример 17.
Вычислить площадь плоской области D, ограниченной прямой y = 2 и параболой y = x2 - 1.
Область D (рис. 18) можно проектировать и на ось Ох, и на ось Oy. Спроектируем ее на ось Oy. Область D симметрична относительно оси Oy, поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области D и результат удвоить.
|
Правая половина области D проектируется на ось Oy в отрезок [-1; 2] и имеет левой границей прямую х = 0, а правой – линию y = x2 –1, или 
.
В результате
|
.
Пример 18.
|
Вычислить площадь плоской области D (рис. 19), ограниченной прямыми z = 0, z = x и окружностью x2 + z2 = 2x.
|
Введем полярные координаты x = rcosj, z = rsinj. Уравнение окружности, ограничивающей область D, примет вид r2 = 2rcosj, или r = 2cosj.
Угол j меняется от 0 до p/4, а r меняется от 0 до 2cosj. Тогда получаем:
Пример 19.
(х2 + z2) 2 = 2ax3.
Введем полярные координаты: x = rcosj, z = rsinj. Уравнение кривой примет вид
r4 = 2ar3cos3j, или r = 2acos3j.
Область D (рис.20) симметрична относительно оси Ox, поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить. Для верхней половины области D угол j меняется от 0 до p/2, а r меняется от 0 до 2acos3j.
z
0 2a x
Рис. 20
Поэтому имеем:
откуда S = 5pa2/8.
Date: 2016-07-22; view: 623; Нарушение авторских прав